史濟懷老師視頻課微分方程部分——

&3.二階線性微分方程的一般理論

&3.1二階齊次 線性方程解的結(jié)構(gòu)

Liouville定理：設(shè)y1，y2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0在（a，b）兩個解，那么對x0∈（a，b），

對每個x∈（a，b）成立。

證：

step1：獲得目標式子——

1. y1，y2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0在（a，b）兩個解，即

1. y1''+p(x)y1'+q(x)y1=0

2. y2''+p(x)y2'+q(x)y2=0

2. Wronsky行列式：w(x)=y1(x)y2(x)'-y2(x)y1(x)'，則

   w'(x)

   =y1(x)y2(x)''+y1(x)'y2(x)'-y1(x)'y2(x)'-y2(x)y1(x)''

   =y1(x)y2(x)''-y2(x)y1(x)''

   =-y1(x)[p(x)y2(x)'+q(x)y2(x)]+y2(x)[p(x)y1(x)'+q(x)y1(x)]

   =p(x)[y1(x)'y2(x)-y1(x)y2(x)']

   =-p(x)w(x)，

   即dw(x)/dx=-p(x)w(x)，則dw(x)/w(x)=-p(x)dx；

3. 兩邊求積分：

????????若w(x0)=0，則任意x∈（a，b），w(x)=0。

step2：求證w(x)一處不為零，則處處不為0——

1. 若w(x0)>0，假如存在x1∈（a，b），w(x1)<0，由微分中值定理：

   存在ξ∈（a，b），w(ξ)=0；

2. 易得

????????與w(ξ)=0矛盾，故而對任意x∈（a，b），w(x)>0；

???3.同理，如果若w(x0)<0，則對任意x∈（a，b），w(x)<0。