隨機(jī)微分方程就是在系統(tǒng)中帶有隨機(jī)噪聲干擾項(xiàng)的微分方程.

一般來講學(xué)習(xí)隨機(jī)微分方程需要先學(xué)習(xí)隨機(jī)分析,了解Ito積分,同時(shí)也要有泛函分析和偏微分方程的基礎(chǔ),然后才能找到相應(yīng)的專著開始學(xué)習(xí).但隨著隨機(jī)偏微分方程這門學(xué)科的重要地位不斷提升,這樣的學(xué)習(xí)路線顯得太過漫長(zhǎng),導(dǎo)致絕大多數(shù)人在本科階段并不能接觸和了解這一門學(xué)科,也就很難說在未來還想從事這方面的學(xué)習(xí)與研究工作了.因此為了探索這門學(xué)科下沉至本科教育的方式,破除原有的學(xué)習(xí)壁壘,使得更多的數(shù)學(xué)學(xué)生能夠以更少的基礎(chǔ)去了解這門學(xué)科所關(guān)心的問題,我們需要建立關(guān)于這門學(xué)科新的體系,很明顯近幾年就有這么一種趨勢(shì).

隨機(jī)偏微分方程的傳統(tǒng)打開方式,比如H.Holden和B.Oksendal的Stochastic Partial Differential Equations 或者E.Pardoux的Stochastic Partial Differential Equations,都是直接從隨機(jī)積分的角度入手,同時(shí)在學(xué)習(xí)時(shí)也要求比較堅(jiān)實(shí)的分析基礎(chǔ).

而M.Hairer(2014年Fields獎(jiǎng)得主,方向spde)在2023年7月剛剛在個(gè)人主頁(yè)上傳的講義中,他做了這樣一個(gè)嘗試:假設(shè)學(xué)生只有基本的概率論,測(cè)度論與泛函分析的基礎(chǔ)的情況下來介紹隨機(jī)偏微分方程.在講義的第一章介紹了N-S方程和隨機(jī)熱方程兩個(gè)例子,僅僅用到了概率作為一個(gè)分布的概念而完全不涉及隨機(jī)積分,讓人先對(duì)問題有了大致了解,然后再花了一些篇幅來補(bǔ)充一些概率與分析的工具,,括Gauss測(cè)度和算子半群(從隨機(jī)分析的角度來說是馬氏半群),最后分別介紹了線性spde和半線性spde.文章后面有第一章的主要內(nèi)容.

如果連概率論基礎(chǔ)也沒有,還有一個(gè)選擇,就是寫了偏微分方程圣經(jīng)的那個(gè)L.Evans,他前幾年也寫了一本An Introduction to?Stochastic Partial Differential Equations,看這本書就完全只需要分析基礎(chǔ)了,書中會(huì)補(bǔ)充需要的概率知識(shí),這本書適合給非概率方向的學(xué)生了解隨機(jī)方程,但從概率方向?qū)W生的角度,質(zhì)量應(yīng)該是比不上上一本的.

剩下的新學(xué)期再開始學(xué)了.