今天, 我們走進四邊形, 來探究一下四邊形全等的條件.

哎?? 不是走進三角形嘛?

哦, 你不要急, 四邊形也是三角形組成的.

一個四邊形, 可以看作由 2 個具有公共邊的三角形拼成的.

例如, 下圖的四邊形 可以看作, 由 和 組成的:

本文只討論凸四邊形, 所謂的凸四邊形, 是指所有的內(nèi)角都小于 180° 的四邊形.

(當(dāng)然, 在初中課本里, 凸四邊形的定義, 不是這樣寫的, 在初中范圍內(nèi), 它們等價)

不滿足該條件的四邊形, 就是凹四邊形, 形狀像飛鏢:

下文所說的 "四邊形", 都只包括凸四邊形.

首先, 我們回顧一下, 三角形全等的條件.

在以下 4 種情況下, 我們可以確定出唯一的三角形:

????1. 已知三邊的長度;

????2. 已知兩邊長度和夾角大小;

????3. 已知一邊長度和 2 個鄰角的大小;

????4. 已知一邊長度, 其對角和一個鄰角的大小;

這 4 種情況, 分別對應(yīng)三角形全等的 SSS, SAS, ASA, AAS 判定依據(jù).

顯然, 如果組成四邊形的兩個三角形都是確定的, 那么, 該四邊形是唯一的;

所以, 四邊形的全等, 實際上就是, 組成四邊形的兩個三角形的全等.

下面, 我們就來探究一下, 四邊形全等的條件.

1. 有?4 組邊和 1 組角對應(yīng)相等的兩個四邊形全等.

證明:

在四邊形 ABCD 和 A'B'C'D' 中,

AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D', AD = A'D',

∠A = ∠A' , 連接 BD, B'D'.

則有?

因此, 四邊形 ABCD 和四邊形 A'B'C'D', 是由兩組全等的三角形拼成的,

2. 有 3 組邊對應(yīng)相等, 且與第四條邊不相鄰的兩角對應(yīng)相等的兩個四邊形全等.

證明:

在四邊形 ABCD 和 A'B'C'D' 中,

AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D',

∠ABC =?∠A'B'C',??∠BCD =?∠B'C'D',

連接 AC, BD.

在 ΔABC 和 ΔA'B'C' 中,

組成四邊形 ABCD 和 A'B'C'D' 的兩組三角形都全等, 于是有

3. 有 2 組鄰邊和 3 個角對應(yīng)相等的四邊形全等.

證明:

在四邊形 ABCD 和 A'B'C'D' 中,

AB = A'B', AD = A'D', ∠A = ∠A',

∠ABC = ∠A'B'C', ∠C = ∠C',

連接 BD, B'D'.

在 ΔABD 和 ΔA'B'D' 中,

則有

,

,?

,?

, ?

在 ΔBCD 和 ΔB'C'D' 中,

四邊形 ABCD 和 A'B'C'D' , 能夠被拆成 2 組全等的三角形, 這說明,

對于其他情況, 滿足條件的四邊形可能不唯一, 不能作為判定全等的條件.