命題1.21：

從三角形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)到三角形內(nèi)一點(diǎn)的連線，小于另外的兩條邊，其夾角大于三角形的頂角

已知：△ABC，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，BD,CD為點(diǎn)D與端點(diǎn)B,C的連線

求證：BD+CD＜AB+AC，∠BDC＞∠BAC

解：

延長BD交AC于點(diǎn)E

(公設(shè)1.2）

證：

∵△ABE中，BE＜AB+AE

（命題1.20）

∴BE+EC＜AB+AC

（公理1.2）

∵△CED中，CD＜EC+ED

（命題1.20）

∴點(diǎn)D到點(diǎn)B,C的連線CD+BD＜BE+EC

（公理1.2）

∴CD+BD＜AB+AC

（隱藏公理）

∵在△CDE中，∠BDC＞∠CED，

在△ABE中，∠CED＞∠BAC

（命題1.16）

∴BD，DC的夾角∠BDC＞∠BAC

(隱藏公理）

證畢

此命題將在命題3.8中被使用

隱藏公理：如果X＜Y，Y＜Z，那么X＜Z。這一性質(zhì)未被列入本書公理中