使用一個固定窗口在圖像上進行任意方向上的滑動，比較滑動前與滑動后窗口中的像素灰度變化程度，如果存在任意方向上的滑動都有著較大灰度變化，那么就認為該窗口中存在角點。

上圖中A是角點，B不是角點，如果用一個小窗口(藍色)在點A處滑動，無論朝哪個方向走，窗口內(nèi)的像素值都會發(fā)生明顯的變化，比如窗口往左，那白色像素就越多，紅色越少；但是對于B點，無論朝哪個方向滑動，窗口內(nèi)的像素不變。進一步地有：

如何計算圖像的梯度？

一副圖像可以看做一個離散的二元函數(shù)，行列索引分別表示x坐標和y坐標，每個像素點的灰度值代表函數(shù)值。根據(jù)連續(xù)二元函數(shù)的偏導數(shù)計算方法有：

但圖像是離散的，沒有辦法使delta x和delta y趨于0，最小只能取1，所以上式可以轉(zhuǎn)換為：

所以對圖像的求導相當于對每個像素點做差分運算。上面那種為前向差分，根據(jù)所列的求導公式的不同還可以是中心差分：

顯然中心差分就相當于用卷積核[-1,0,1]對圖像做卷積（忽略系數(shù)1/2不影響算法）。比如求圖像在（1,1）位置對x方向的偏導數(shù)，就等價于用該卷積核去卷積紅色窗口。

Sobel卷積核

對圖像某個區(qū)域使用Sobel核進行卷積相當于對中心點進行濾波和求導。

比如上圖，對3乘3區(qū)域用Sobel卷積核進行卷積可以分解為濾波操作和求導操作。濾波操作就是對p22左邊的元素p21結(jié)合左上p11和左下p31進行加權(quán)求和得到新的左邊元素，對p22右邊的元素p23結(jié)合右上p13和右下p33進行加權(quán)求和得到新的右邊元素。

濾完波后進行中心差分：

上面兩步的效果就等價于一個Sobel核。

Gaussisan卷積核

比如利用前向差分求點p33的梯度，可以先用高斯核W對以p33為中心的窗口做卷積，再對以p34為中心的窗口做卷積，然后作差即可。

可以進一步將上式寫成下面這種形式：

注意這里的x,y是對卷積操作的窗口區(qū)域進行索引的，起始索引均為0，雖然看起來f(0,0)表示圖像(0,0)位置的元素，但這里就是表示窗口的第一個元素。

如何計算圖像任一方向的梯度？

根據(jù)二元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義有：

所以向量(u,v)只有上圖所示的8種組合。忽略分母，方向?qū)?shù)可以寫為：

角點檢測算法

目標：計算圖像每個像素點的方向?qū)?shù)，找出在各個方向方向?qū)?shù)都比較大的點。

角點計算的基本數(shù)學公式：

這個公式就是建立在方向?qū)?shù)的基礎上，平方的目的是為了消除負號，放大誤差。

將x,y視作常數(shù)，E是關(guān)于u,v的函數(shù)。

所以近似之后，所要研究的函數(shù)E(u,v)就變成了一個二次型函數(shù)。

M是一個實對稱矩陣。對M進行標準化后，E(u,v)可以寫成：

二次型函數(shù)在xoy平面上的等高線是歪著的橢圓，標準化之后的等高線是正著的橢圓，等高線越往內(nèi)高度越低，越往外高度越高。

橢圓的形狀由矩陣M的兩個特征值控制，長軸和短軸的長度分別和特征值成反比。

如果函數(shù)E在平面上的等高線如上圖，長軸遠大于短軸（或者短軸遠大于長軸），可以發(fā)現(xiàn)越往短軸移動，高度變化比較顯著，而往長軸移動，高度變化較為微弱。

也就是說：(u,v)指向的方向如果是短軸方向，那函數(shù)值E就較大，會比取值指向長軸方向的函數(shù)值大得多。

如果等高線的長軸和短軸比較接近，如下圖：

我們的目標是：找出往任意方向移動，函數(shù)值E都比較大且差不多的點，這正可以體現(xiàn)在函數(shù)等高線的長短軸長度上。

總結(jié)為如下圖像：

1. 當兩個特征值差異很大時，意味著相同長度的(u,v)向量，朝著一個軸的函數(shù)值和朝著另一軸的函數(shù)值E差異很大，即梯度變化差異很大。表明是邊緣像素點。

2. 兩個特征值都很小，函數(shù)值E相近且都很小，即沿任意方向梯度變化微弱。表明是灰度均勻區(qū)域。

3. 兩個特征值都很大，函數(shù)值E相近且都很大，即沿任意方向梯度變化顯著。表明是角點。

如何定量地描述這種關(guān)系？

R函數(shù)的形狀就如馬鞍面：

非極大值抑制