一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：

當(dāng)擴(kuò)展為二元復(fù)合函數(shù)以后：

推廣：

上述結(jié)果就是全導(dǎo)數(shù)。注意全導(dǎo)數(shù)的中間變量可以是多個(gè)，但最終變量只有一個(gè)t。

如果有多個(gè)最終變量，則稱為偏導(dǎo)數(shù)：

以上都有兩個(gè)最終變量x和y，所以得出的結(jié)果是偏導(dǎo)數(shù)。

先看第一種特殊情況：

上圖特殊在于，x,y都既是中間變量，又是最終變量。

上圖要特別注意的是 z 的偏導(dǎo)數(shù)與 f 偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別。z 的偏導(dǎo)數(shù)是把?z 看作是最終變量 x,y 的函數(shù)，而 f 是看作是中間變量u,x,y的函數(shù)，兩者雖然形式上相等，但觀察的角度是不一樣的。前者是最終變量，后者是中間變量，因?yàn)?/p>

的后面其實(shí)還要乘上一個(gè)

再看下面這種情況：

上圖的中間變量都只有同一個(gè)最終變量 x，因此問題就轉(zhuǎn)變成了全導(dǎo)數(shù)問題。

上圖中，

下面看一個(gè)例子：

這里

現(xiàn)在要求出 z 對 x 的二階偏導(dǎo)數(shù)。

一階直接套公式：

二階按一階的商求導(dǎo)數(shù)也沒問題：

那如何到下一步的：

這里關(guān)鍵是

等于什么？假設(shè)F(x,y,z)=(x^2)yz-1=0，那么Fx=2xyz，還是x,y,z的函數(shù)，而z又是x,y的函數(shù)，所以上式就必須通過圖1的方式對 Fx 求偏導(dǎo)，利用圖2，得到

圖3中另一項(xiàng)Fz對x求偏導(dǎo)也一樣處理，所以得到圖4 的結(jié)果。其中

綜上：

1：全導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別就在于最終變量的個(gè)數(shù)，前者一個(gè)，后者多個(gè)。當(dāng)偏導(dǎo)數(shù)的最終變量只有一個(gè)的時(shí)候，就轉(zhuǎn)變成了全導(dǎo)數(shù)。

2：注意形如z=f(u,v,x)方程中 z 和函數(shù) f 在意義上的區(qū)別。