這一部分定理證明，結(jié)合丁同仁的《常微分方程》看即可。

史濟懷老師視頻課微分方程部分——

&6.n階線性微分方程

定義：y(x)為未知函數(shù)，x為自變量，p1(x)，p2(x)，……，pn-1(x)，pn(x)f(x)在（a,b）連續(xù)——

• n階線性微分方程：形如——

• n階線性齊次方程：當f(x)=0，形如——

• n階線性非齊次方程：當f(x)≠0，形如——

• Wronsky行列式——

• 定理（n解線性微分方程解的結(jié)構(gòu)）：n解線性微分方程解的為其一個特解和其對應(yīng)的齊次方程的通解之和。

&6.1n階常系數(shù)線性齊次微分方程

定義：y(x)為未知函數(shù)，x為自變量，p1(x)，p2(x)，……，pn-1(x)，pn(x)為常數(shù)p1，p2，……，pn-1，pn，f(x)在（a,b）連續(xù)——

• n階常系數(shù)線性微分方程：形如——

• n階常系數(shù)線性齊次微分方程：當f(x)=0，形如——

• n階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程——

定理：設(shè)n階常系數(shù)線性微分方程的特征方程的n個單根（非重根）λ1，λ2，……，λn，則對應(yīng)齊次方程的通解為

證明：

反證法——

引理：設(shè)變換y=ze^(αx)把常系數(shù)n階線性齊次微分方程變成

對應(yīng)特征方程為

如果λ=k是原常系數(shù)齊次方程特征方程的一個根，那么λ=k-α是上述齊次方程的一個根。

證明：

定理：設(shè)λ=k是原常系數(shù)線性齊次微分方程特征方程的一個m重根（m個相同的根），那么原常系數(shù)線性齊次微分方程除了e^(kx)這個解外，還有下面m-1個解

證明：

定理：假如 λ=α+βi為原常系數(shù)線性齊次微分方程特征方程的一個m重根（m個相同的根），那么原常系數(shù)線性齊次微分方程除了e^[(α+βi)x]這個解對應(yīng)其他m-1個根外，還有下面e^[(α-βi)x]對應(yīng)m個根，e^(αx)cosβx，e^(αx)sinβx對應(yīng)的m個解。

&6.2n階常系數(shù)線性非齊次微分方程

不使用常數(shù)變易法的3種情況：

情形一：當f(x)=Dn(x)——Dn(x)為關(guān)于x的n次多項式，即Dn(x)=a0+a1x+…+anx^n。

思路：

情形二：當f(x)=Dn(x)e^αx——Dn(x)為關(guān)于x的n次多項式，即Dn(x)=a0+a1x+…+anx^n，α為實數(shù)。

思路：

情形三：當f(x)=Dn(x)(e^αx)sin βx或者f(x)=Dn(x)(e^αx)cos?βx——Dn(x)為關(guān)于x的n次多項式，即Dn(x)=a0+a1x+…+anx^n，α，β為實數(shù)。

&6.3歐拉（Euler）方程；

定義：一種可化成常系數(shù)線性微分方程的變系數(shù)線性微分方程，形如