????????????????????第14課????函數(shù)的單調(diào)性

?一、課程導(dǎo)入

????????本節(jié)課你將會學(xué)到：如何判斷的函數(shù)單調(diào)性?？

二、知識儲備

????????1、函數(shù)單調(diào)性的描述：當(dāng)函數(shù)f（x）的自變量在其定義區(qū)間內(nèi)增大或減小時，函數(shù)值f（x）也在該區(qū)間上具有單調(diào)性。

????????2、單調(diào)函數(shù)定義：一般地，設(shè)一連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，則如果對于定義域D內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2∈D且x1＞x2，都有f（x1）＞f（x2），那么就說f（x）在這個區(qū)間上是增函數(shù)，反之就說f（x）在這個區(qū)間上是減函數(shù)（注：最后一句是我縮寫了，你們在回答函數(shù)單調(diào)性定義是必須回答全）。

三、探究新知

????????1、如果按照這樣原方不動地直接上去理解的話，確實(shí)挺難的，∵它實(shí)在是太抽象了（這里的“單調(diào)”不是說它函數(shù)挺單調(diào)的）。我們不妨列舉幾個簡單的函數(shù)，看看他們的增減性。

????????2、首先看圖（1）。這是一個正比例函數(shù)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖1

圖象。圖像中的（x1，y1）點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)都處于最小值，但再往右看，x的坐標(biāo)值越大，y的坐標(biāo)值越大，一直到（x2，y2）為止。像這樣的變化，我們就管它叫“y隨x的增大而增大”。

? ? ? ?接著看圖（2）。圖像中的（x1，y1），

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

（x4，y4）每個x，每個y均處于最小值。但無論是第二象限還是第四象限，都是自變量x越大，y的自變量越小。像這樣的變化，我們就管它叫“y隨x的增大而減小”。

? ? ? ?最后看圖（3）。這是一個二次函數(shù)圖像。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 圖3

? ? ? ?圖像關(guān)于y軸對稱，∴要分類討論。先看y軸左側(cè)，其x，y最小值在（x1，y1）處，而在拋物線上的點(diǎn)離y軸越是近，x1的自變量越小，同時y1的因變量越小。到（x2，y2）之后還要看y軸右側(cè)，（x3，y3）是整個圖像x，y的最大值處，而y軸右側(cè)和y軸左側(cè)相反，x自變量越大，y因變量越大。像這樣的變化，我們就管它叫“在y軸左側(cè)，y隨x的增大而減?。辉趛軸右側(cè)，y隨x的增大而增大”。

????????? 2、由于函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性，是研究函數(shù)自變量x與因變量y之間的變化關(guān)系。那我們可以試想一下，假如我把圖（1）中的（x1，y1）作為函數(shù)f（x1）所取的一點(diǎn)，（x2，y2）作為函數(shù)f（x2）所取的一點(diǎn)，那么是否可以充分證明f（x1）＜f（x2）呢？當(dāng)然可以。∵在平面直角坐標(biāo)系中，越往下y坐標(biāo)越小，越往左x坐標(biāo)越小，反之同理，這樣的猜想與前面分析的增減性不矛盾，進(jìn)而與開頭所說的函數(shù)的單調(diào)性定義相符，∴能得證圖1是增函數(shù)。另外我們知道求函數(shù)f（x）的值就是求函數(shù)表達(dá)式中y的值，而作差就是比較大小的一種方法。較大數(shù)減較小數(shù)得正數(shù)，反之得負(fù)數(shù)，也就是說，f（x2）-f（x1）＞0，則該函數(shù)是增函數(shù)，f（x2）-f（x1）＜0，則該函數(shù)是增函數(shù)。在研究函數(shù)單調(diào)性中一般不包括f（x1）=f（x2）。用這樣的思想來編寫程序，會簡單許多。

四、流程圖講解

????????以前我們提到過，對數(shù)有意義的條件是loga（x）中的x＞1且x≠0，那么同樣的，我們要判斷對數(shù)函數(shù)f（x）=loga（x）的單調(diào)性，具體該怎么編程呢？我們看圖4。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖4

? ? ? ?首先程序開始。把f（x）的x分解成x1，x2，它們各自是f（x）=log（x）的兩個數(shù)值，無論是哪個x，都要判斷它是否大于1且不等于0，一個判斷為“真”則判斷下一個，若第二個判斷也為真則接下來詢問并回答f1，f2的值，即logx1，logx2的結(jié)果，再接下來如果x1=x2則執(zhí)行“無法判斷單調(diào)性”，此時停止腳本，否則判斷f1是否大于f2，若f1＞f2，則接下來執(zhí)行“f（x）是增函數(shù)”，否則執(zhí)行“f（x）是減函數(shù)”。最后程序結(jié)束。

五、變量信息

????????x1、x2、f1、f2、函數(shù)的單調(diào)性

六、代碼示例

????????（0）——（2）：詢問并回答x1的值，準(zhǔn)備判斷框內(nèi)輸入的x1是否有意義，即回答的數(shù)值大于1且不等于0。（3）為上面的判斷語句，若輸入值有意義則繼續(xù)（4）——（5），否則跳到（26）——（28）。

當(dāng)綠旗被點(diǎn)擊????（0）

詢問請輸入x1????（1）

將x1設(shè)為回答????（2）

如果0＜回答＜1或回答＞1那么????（3）←最外層判斷

????????（4）——（5）是對x2進(jìn)行詢問并回答，（20）——（22）是說：“對數(shù)不可能等于1或小于0，對數(shù)無意義”過2秒后停止腳本。在輸入框內(nèi)輸入相應(yīng)數(shù)值后，看x2的值是否有意義，由（6）來判斷，該代碼同判斷x1是否有意義。否則跳到（20）——（25）。

詢問請輸入x2????（4）

將x2設(shè)為回答????（5）

如果0＜回答＜1或回答＞1那么? ? （6）←第二層判斷

將f1設(shè)為log10（x1）? ?（7）

將f2設(shè)為log10（x2）????（8）

????????從（9）開始判斷函數(shù)的單調(diào)性。如果f1=f2則接下來執(zhí)行（10）——（11），否則跳到（12）。

如果f1=f2那么????（9）←第二層判斷

說：“f（x1）和f（x2）是完全相同的函數(shù)，無法判斷單調(diào)性。”????（10）

將函數(shù)的單調(diào)性設(shè)為無法判斷????（11）

????????最后比較f1和f2誰大，如果f1更大直接執(zhí)行（13）——（16），否則直接執(zhí)行（17）——（19）。

否則????（12）←第三層判斷

如果f1＞f2那么????（13）←最外層判斷

說：“f1＞f2，f（x）在這個區(qū)間上是增函數(shù)。”????（14）

將函數(shù)的單調(diào)性設(shè)為單調(diào)遞增????（15）

否則????（16）←最外層判斷

否則????（17）←第三層判斷

說：“f1＜f2，f（x）在這個區(qū)間上是減函數(shù)”????（18）

將函數(shù)的單調(diào)性設(shè)為單調(diào)遞減????（19）

說：“對數(shù)x2不可能等于1或小于0，對數(shù)無意義。”2秒????（20）

等待1秒????（21）

停止全部腳本????（22）

否則????（23）←第二層判斷

等待1秒????（24）

停止全部腳本????（25）

說：“對數(shù)x2不可能等于1或小于0，對數(shù)無意義。”2秒????（26）

等待1秒????（27）

停止全部腳本????（28）

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