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先判斷誰是頂角(2019課標Ⅲ,15)

2023-01-04 23:24 作者:數學老頑童  | 我要投稿

(2019課標Ⅲ,15)設F_1、F_2為橢圓C%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B36%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B20%7D%3D1的兩個焦點,MC上一點且在第一象限.若%5Cbigtriangleup%20MF_1F_2為等腰三角形,則M的坐標為________.

解:設M的坐標為%5Cleft(%20x_0%2Cy_0%20%5Cright)%20,則

%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Cleft%7C%20MF_2%20%5Cright%7C%26%3D%5Csqrt%7B%5Cleft(%20x_0-c%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20y_0-0%20%5Cright)%20%5E2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Csqrt%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D-2cx_0%2Bc%5E2%2By_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Csqrt%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D-2cx_0%2Bc%5E2%2Bb%5E2%5Cleft(%201-%5Cfrac%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E2%7D%20%5Cright)%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7Ba-ex_0%7D%5C%5C%0A%09%09%5Cend%7Baligned%7D

f%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20%3Da-ex_0,x_0%5Cin%20%5Cleft(%200%2Ca%20%5Cright)%20

易知f%5Cleft(%20x_0%20%5Cright)%20%5Csearrow%20,

%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20MF_2%20%5Cright%7C%5Cin%20%5Cleft(%20a-c%2Ca%20%5Cright)%20%7D,

%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20MF_2%20%5Cright%7C%5Cin%20%5Cleft(%202%2C6%20%5Cright)%20%7D,

%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%7C%20MF_2%20%5Cright%7C%5Cne%20%5Cleft%7C%20F_1F_2%20%5Cright%7C%3D8%7D,

%5Cangle%20MF_2F_1不是%5Cbigtriangleup%20MF_1F_2頂角;

%5Cangle%20F_1MF_2%5Cbigtriangleup%20MF_1F_2的頂角,則M%5Ccolor%7Bred%7D%7By%7D上,亦不合題意;

綜上所述:%5Cbigtriangleup%20MF_1F_2頂角為%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cangle%20MF_1F_2%7D.

如圖,過F_1F_1H%5Cbot%20MF_2,垂足為H,

%5Cvert%20MF_1%20%5Cvert%20%3D%5Cvert%20F_1F_2%20%5Cvert%20%3D2c%3D8

%5Cvert%20MF_2%20%5Cvert%20%3D2a-8%3D4

%5Cvert%20MH%20%5Cvert%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cvert%20MF_2%20%5Cvert%20%3D2,故

%5Cvert%20F_1H%20%5Cvert%20%3D%5Csqrt%7B%5Cvert%20MF_1%20%5Cvert%20%5E2-%5Cvert%20MH%20%5Cvert%20%5E2%7D%20%3D2%5Csqrt%7B15%7D%20

y_0%3D%5Cfrac%7B%5Cvert%20F_1H%20%5Cvert%5Ccdot%20%5Cvert%20MF_2%5Cvert%20%20%7D%7B%5Cvert%20F_1F_2%20%5Cvert%20%7D%20%3D%5Csqrt%7B15%7D%20,

%5Cfrac%7Bx_0%5E2%7D%7B36%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%5Csqrt%7B15%7D%20%5Cright)%5E2%7D%7B20%7D%3D1,

解得x_0%3D3,

所以M的坐標為%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(3%2C%5Csqrt%7B15%7D%20%5Cright)%7D.

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