某數(shù)是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，它的個(gè)位不是0則一定是幾
網(wǎng)上有家長提問——
a、b、c、d是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)，已知a×b×c×d=x，并且x的個(gè)位不為0，則x的個(gè)位是______.
【思路】
不難看出這是一道數(shù)論題，數(shù)論是解析重組自然數(shù)的學(xué)問；
數(shù)論七字訣“因倍質(zhì)合余方位”，“因倍”是指因數(shù)、倍數(shù)、因數(shù)分解、公因、公倍、最大公因、最大公倍、因數(shù)定理等，“質(zhì)合”是指質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)、質(zhì)數(shù)判定、質(zhì)數(shù)性質(zhì)、特殊質(zhì)數(shù)、乘積末尾0個(gè)數(shù)等，“余”是指帶余除法、整除(余數(shù))特征、余數(shù)性質(zhì)、同余、剩余等，“方”是指乘方、平方數(shù)等，“位”是指位值原理，進(jìn)位制等；
看到“四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積”和“乘積個(gè)位不為0”很自然就會(huì)想到“因”、“質(zhì)”，從而想到去研究自然數(shù)中是否含有“2”、“5”；
但僅僅研究因數(shù)分解、質(zhì)因數(shù)是不夠的，我們還需要考慮到“余”；
充分利用余數(shù)的性質(zhì)、整除(余數(shù))特征、以及化帶余除法為乘法表達(dá)式的技巧，便可化繁為簡.
【步驟】
【詳解】
2×5=10，10乘某自然數(shù)的乘積個(gè)位必為0；
若干個(gè)自然數(shù)相乘，只要它們的質(zhì)因數(shù)里面有2以及5，乘積末尾必有0[1]；
四個(gè)連續(xù)自然數(shù)必有偶數(shù)[2]，并且若干個(gè)自然數(shù)相乘，但凡有一個(gè)自然數(shù)是偶數(shù)，乘積必為偶數(shù)[3]；
因?yàn)槌朔ex是偶數(shù)，則x=2×□，而只要x還含有質(zhì)因數(shù)5，末尾必為0，所以x不含質(zhì)因數(shù)5[4]；
因?yàn)槌朔ex不含質(zhì)因數(shù)5，則四個(gè)自然數(shù)a、b、c、d均不含質(zhì)因數(shù)5[5]；
因?yàn)樗膫€(gè)自然數(shù)均不含質(zhì)因數(shù)5，所以a、b、c、d除以5的余數(shù)不為0[6]；
任何不能被5整除的自然數(shù)，除以5的余數(shù)只有4種可能：余1、余2、余3、余4；
又因?yàn)樗膫€(gè)連續(xù)自然數(shù)可表示為a、a+1、a+2、a+3，這四個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)一定兩兩不等[7]；
綜合第7條與第8條可以推出：這四個(gè)連續(xù)自然數(shù)a、b、c、d除以5的余數(shù)必定分別為1、2、3、4[8]；
根據(jù)余數(shù)的可乘性[9]，x除以5的余數(shù)等于“a除以5的余數(shù)×b除以5的余數(shù)×c除以5的余數(shù)×d除以5的余數(shù)”，即x除以5的余數(shù)等于“1×2×3×4=24”；
由于余數(shù)24大于除數(shù)5，所以應(yīng)繼續(xù)除下去：24÷5=4······4，所以x除以5的余數(shù)為4[10]；
因?yàn)閤除以5余4，所以x=5×□+4，又因?yàn)閤是偶數(shù)，所以□一定是偶數(shù)，于是□=2×△[11]，代入原式得x=5×2×△+4=10×△+4，即x是一個(gè)10的倍數(shù)再加4，也即，x除以10余4，換言之——x是的個(gè)位是4.
答：x的個(gè)位是4.
【總結(jié)】
這是一道數(shù)論題，數(shù)論是解析重組自然數(shù)的學(xué)問；
數(shù)論七字訣“因倍質(zhì)合余方位”，除了“余”，其余都是研究整除；
看到“四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積”和“乘積個(gè)位不為0”很自然就會(huì)想到“因”、“質(zhì)”，從而想到去研究自然數(shù)中是否含有“2”、“5”；
但僅僅研究因數(shù)分解、質(zhì)因數(shù)是不夠的，我們還需要從“四個(gè)自然數(shù)均不含質(zhì)因數(shù)5”的整除思維切換到“四個(gè)自然數(shù)除以5的余數(shù)非0且不同”這樣的余數(shù)思維；
充分利用余數(shù)的性質(zhì)、整除(余數(shù))特征、以及化帶余除法為乘法表達(dá)式的技巧，便可化繁為簡.
“因倍質(zhì)合余方位”，“余”雖一個(gè)字，撐起數(shù)論半邊天.
【參考】
^舉幾個(gè)例子：8×12=(2×2×2)×(2×2×3)=96、25×15=(5×5)×(3×5)=375、25×6=(5×5)×(2×3)=150、25×4=(5×5)×(2×2)=100，可以看出若干自然數(shù)相乘：①質(zhì)因數(shù)里2再多沒有5乘積末尾沒有0，②質(zhì)因數(shù)里5再多沒有2乘積末尾沒有0，③質(zhì)因數(shù)中一個(gè)2與一個(gè)5搭配得到乘積末尾的一個(gè)0，④有多少對2和5乘積末尾就有幾個(gè)連續(xù)0.
^四個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必有偶數(shù)：設(shè)四個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小數(shù)為a，①若a為奇數(shù)，則a+1（四個(gè)自然數(shù)中第二小的數(shù)）必為偶數(shù)，②若a為偶數(shù)，本身就已經(jīng)符合.
^舉例：2×3×5×7=210（偶數(shù)），3×3×5×7=315（奇數(shù)）.
^可以理解為x由若干個(gè)“零件”相乘“組裝”而成，x的零件里沒有“5”.
^a、b、c、d可以理解為x的“組件”，這些“組件”可進(jìn)一步拆解為“零件”，既然最終完成品x不含“5”，那么構(gòu)成x的組件a、b、c、d的“零件”里也不可能有“5”.
^只要自然數(shù)除以5余0，就可以認(rèn)為該自然數(shù)能被5整除.
^設(shè)n,m,q,r為自然數(shù)且m>r>0，帶余除法n÷m=q······r可以變形為n=mq+r，那么n+1=mq+(r+1)，n+2=mq+(r+2)，n+3=mq+(r+3)，只要m>(r+3)，r、(r+1)、(r+2)、(r+3)一定是四個(gè)不同的余數(shù).
^a除以5必定余1，否則必有b、c、d的某個(gè)數(shù)除以5余0，與前面的推理不符，舉例：若a除以5余2，則b除以5余3，則c除以5余4，則d除以5余0（本來d除以5余5，但余數(shù)不能等于除數(shù)，如果等于了，可以再多除一次，于是余數(shù)變?yōu)?），若a除以5余3或余4同樣可得到能被5整除的b或c或d.
^余數(shù)的可乘性說的是“積之余等于余之積”，即若干個(gè)自然數(shù)的乘積除以某數(shù)的余數(shù)等于這若干個(gè)自然數(shù)分別除以某數(shù)的余數(shù)的乘積（若乘積大于除數(shù)應(yīng)繼續(xù)除至小于除數(shù)為止），舉例：24除以5余4，6除以5余1，24×6=144，那么144除以5余——4×1=4.
^也可以這樣來理解：設(shè)k為自然數(shù)，x=5k+24=5k+5×4+4=5(k+4)+4.
^x分為兩部分：5×□和4，4本身是偶數(shù)，所以想要x是偶數(shù)就必須讓5×□是偶數(shù)（偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)），而5×□中5是奇數(shù)，奇數(shù)必須乘偶數(shù)才能得到偶數(shù)，所以□一定是偶數(shù)，即□=2×△，這里的□、△都是待定自然數(shù).
