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幅角原理推論:weierstrass preparation theory的一塊

2023-07-17 17:59 作者:河中石魚 0人讀過 | 我要投稿

多元復函數(shù)化為一元復函數(shù): $f%5Cleft(z%2Cw_%7B1%7D%2Cw_%7B2%7D%2C...%5Cright)%3Df%5Cleft(z%2Cw%5Cright)%3Df_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)$ ，而函數(shù)在 $%5Cleft%7Cz%5Cright%7C%3Cr$ 上有零元 $b_%7B1%7D%2C...%2Cb_%7Bd%7D$ ，則 $%5Csum%7Bb%5E%7Bq%7D%7D%3D%5Cint_%7B%5Cleft%7Cz%5Cright%7C%3Dr%7Dz%5E%7Bq%7D%5Cfrac%7Bf_%7Bw%7D%5E%7B'%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D%7Bf_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%7Ddz.$

將零元轉化為單極點，了解過幅角原理可以理解這一點，因為 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bz-b%7D$ 的系數(shù)為要積分的函數(shù)在單極點b的留數(shù).回顧復分析內容，零元b的重數(shù)按一個一個零元算， $f_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%3D%5Cleft(z-b%5Cright)g_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%5CRightarrow%5Cfrac%7Bf_%7Bw%7D%5E%7B'%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D%7Bf_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bz-b%7D%2B%5Cfrac%7Bg_%7Bw%7D%5E%7B'%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D%7Bg_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D.$ 注意 $z%5E%7Bq%7D%3Db%5E%7Bq%7D%2Bqb%5E%7Bq-1%7D%5Cleft(z-b%5Cright)%2B%E2%80%A6$ ，所以 $z%5E%7Bq%7D%5Cfrac%7Bf_%7Bw%7D%5E%7B'%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D%7Bf_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D$ 在單極點 $b$ 的留數(shù)為 $b%5E%7Bq%7D$ ，依據(jù)留數(shù)定理得到 $%5Csum%7Bb%5E%7Bq%7D%7D%3D%5Cint_%7B%5Cleft%7Cz%5Cright%7C%3Dr%7Dz%5E%7Bq%7D%5Cfrac%7Bf_%7Bw%7D%5E%7B'%7D%5Cleft(z%5Cright)%7D%7Bf_%7Bw%7D%5Cleft(z%5Cright)%7Ddz.$