整理史濟懷老師視頻課中關(guān)于常微分方程的內(nèi)容，然后開始聊“無差異曲線”。

part 1 史濟懷老師視頻課微分方程部分

&2.一階微分方程

一階微分方程——形如F（x，y，y'）=0的關(guān)系式——y為未知函數(shù)，x為自變量，含有y的一階導(dǎo)數(shù)的方程。

&2.2齊次方程

齊次函數(shù)——函數(shù)P（x，y）滿足P（tx，ty）=t^mP（x，y），稱P（x，y）為x和y的m次齊次函數(shù)。

齊次方程——

定義一：形如dy/dx=f（x，y），等式右端的函數(shù)f（x，y）為它的變量x和y的零次齊次函數(shù)，即滿足恒等式f（tx，ty）=f（x，y），則稱這個方程為齊次方程。

易證明——dy/dx=f（x，y）=f（x*（1/y），y*（1/y））=f（x/y，1）=φ（x/y）。

定義二：形如dy/dx=φ（x/y）的微分方方程為齊次方程。

方法——變量替換法——令y=ux，u=y/x，是一個關(guān)于x的函數(shù)。

例子——解方程dy/dx=x+y/x-y。

1. 令y=ux，由dy/dx=（x+y）/（x-y）得到d（ux）/dx=（x+ux）/（x-ux）；

2. 由函數(shù)乘法求導(dǎo)法則知：u求導(dǎo)為u'=du/dx，x'=1；

3. 則左式=xu'+x'u=x（du/dx）+u，右式=（x+ux）/（x-ux）=（1+u）/（1-u）；

4. 左式=右式，即x（du/dx）+u=（1+u）/（1-u）——回歸到變量分離的類型；

5. [（1-u）/（1+u^2）]du=（1/x）dx；

6. 兩邊積分得到，arctan u- ln[（1+u^2）^（1/2）]=ln |x|+C'；

7. 將u=y/x代入，arctan?（y/x）- ln{[1+（y/x）^2]^（1/2）}=ln C'|x|；

8. 化簡，arctan?（y/x）=?ln {[（x^2+y^2）/x^2]^（1/2）* C'|x|}=?ln?[C'（x^2+y^2）^（1/2）]，得到e^[arctan?（y/x）]=C'（x^2+y^2）^（1/2）；

9. 令C=1/C'，得到Ce^[arctan?（y/x）]=（x^2+y^2）^（1/2）；

10. 我們將這個結(jié)果寫成參數(shù)方程的形式，Ce^θ=r，這個圖線是著名的指數(shù)螺線，我們以后在解析幾何的內(nèi)容中會聊到如何分析圖線的形狀。

part 2?經(jīng)濟學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟學(xué)》第三章：效用論——

第一節(jié)引入效用的概念——

效用——效用是指對商品滿足人的欲望的能力評價，或者說，效用是指消費者在消費商品時，所感受到的滿意程度?！环N主觀心理評價。

效用的度量——

1. 基數(shù)效用論：邊際效用分析方法——“效用單位”：表示效用大小的計量單位。

2. 序數(shù)效用論：無差異曲線分析方法——效用不可以具體度量，只能排序。

序數(shù)效用論（這一部分和平新喬的內(nèi)容基本是重合的，區(qū)別在于，高鴻業(yè)介紹了樸素的經(jīng)濟學(xué)定義，平新喬則是介紹了數(shù)學(xué)模型）——

偏好——是指消費者對任意兩個商品組合所做的一個排序。

關(guān)于偏好的三個基本的假定——

1. 偏好的完全性——消費者總是可以比較和排序兩個不同的商品組合；

2. 偏好的可傳遞性——對于任何三個商品組合A、B、C，如果消費者對A的偏好大于對B的偏好，對B的偏好大于對C的偏好，那么在A、C這兩個組合中，消費者必定有對A的偏好大于對C的偏好；

3. 偏好的非飽和性——對于任何一種商品，消費者總是認(rèn)為數(shù)量多比數(shù)量少好，這里，消費者認(rèn)為值得擁有的商品都是“好的東西”（goods），而不是“壞的東西”（bads）。

明天進(jìn)入無差異曲線。