大餅老師 | 1-1 數(shù)列的極限

1??數(shù)列極限概念的引入

1. 什么是數(shù)列極限?

當(dāng)n無限增大時，x?越來越接近于某一實數(shù)，這個實數(shù)就叫做數(shù)列x?的極限

例:包子數(shù)列{x?} ={1，1/2，1/3，…，1/n} n →∞ ，X?→0

2. 如何定義數(shù)列極限？

2??數(shù)列極限定義的學(xué)習(xí)

定義：

若數(shù)列{x?}和常數(shù)a有下列關(guān)系，就稱常數(shù)α是數(shù)列{x?}的極限，或稱數(shù)列{x?}收斂于a，記為lim n→∞ x? =α或x? →a（n →∞）

對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。?/span>，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n >N時，不等式lx?-al <ε都成立

ε-N四部曲：

?ε>0，ョN，當(dāng)n>N時，有|x?-a|<ε

注：

（1）對于正數(shù)ε，它刻畫了x?與a的接近程度，它重在其"任意性”。因為只有這樣， lx?-al <ε才能體現(xiàn)出x?與a的“無限接近”。

（2）對于正整數(shù)N，它與任意給定的ε有關(guān)，它隨著ε的給定而選定，即ε不依賴于N，N依賴于ε。對于給定的ε，相應(yīng)的N不是唯一的，即它重在其"存在性"，并沒有要求其達(dá)到最小。

（3）數(shù)列的極限是否存在僅與它的發(fā)展趨勢有關(guān)，只要從某項N（n>N）開始，有|x?-al <ε即可，與前面有限項的變化無關(guān)。

3??數(shù)列極限的定義證明方法

第一步：找N

第二步：寫ε-N

例1

兩步法

• ①N？
• 倒著找：|x?-al <ε
• x?在題里面
• a是極限=1
• N=[ ]+1
• ②ε-N
• 四部曲

例2

• ①N？
• 倒著找：|x?-al<ε
• a是極限=0
• ②ε-N

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