• 求極限→定型四化定法→1的∞型：冪指轉(zhuǎn)換 + ln1~f(x)-1
• 已知導(dǎo)數(shù)求極限→湊導(dǎo)數(shù)定義(3種定義寫出來(lái)看那個(gè)更適應(yīng))

注意：依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義→要保證1/n趨向0

• 可導(dǎo)→導(dǎo)數(shù)=左導(dǎo)=右導(dǎo)

• 然后直接寫f(a)導(dǎo)代入結(jié)果

• 鄰域vs去心鄰域

鄰域：這個(gè)點(diǎn)及其附近

去心鄰域：不包括那個(gè)點(diǎn)

兩者不同點(diǎn)：可以簡(jiǎn)單理解成鄰域與去心鄰域對(duì)函數(shù)連續(xù)的要求條件不同。鄰域比去心鄰域?qū)瘮?shù)連續(xù)性的要求更強(qiáng)。

鄰域是一個(gè)特殊的區(qū)間，以點(diǎn)a為中心點(diǎn)任何開區(qū)間稱為點(diǎn)a的鄰域，記作U(a)。點(diǎn)a的δ鄰域：設(shè)δ是一個(gè)正數(shù)，則開區(qū)間（a-δ，a+δ）稱為點(diǎn)a的δ鄰域，點(diǎn)a稱為這個(gè)鄰域的中心，δ稱為這個(gè)鄰域的半徑。

a的δ鄰域去掉中心a后，稱為點(diǎn)a的去心δ鄰域，有時(shí)把開區(qū)間（a-δ，a）稱為a的左δ鄰域，把開區(qū)間（a，a+δ）稱為a的右δ鄰域。

一、為什么函數(shù)極限的定義要求鄰域去心

我們?cè)诿枋鰔→x0這個(gè)趨近的過(guò)程時(shí)，描述的就是 x→x0表示的就是由x向x0無(wú)限接近的過(guò)程，但這個(gè)過(guò)程中我們有x≠x0。

為了體現(xiàn)了x→x0但不相等的這個(gè)過(guò)程，我們將函數(shù)極限的定義取作去心鄰域，讓x無(wú)法取得x0的值。

如此一來(lái)，函數(shù)極限的定義就變得更為廣泛，即使f(x)在x0處沒(méi)有意義也可以求極限。也就是說(shuō)，函數(shù)在x0處的極限只和函數(shù)在該點(diǎn)附近有關(guān)，與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義可以沒(méi)有關(guān)系。

由此，我們建立了函數(shù)極限的定義，于此衍生出來(lái)的局部有界性、局部保序性、夾逼定理也自然都是在去心鄰域內(nèi)建立的了。

二、為什么函數(shù)連續(xù)的定義不要求鄰域去心

在上面的分析中我們知道，函數(shù)在x0處的極限只和函數(shù)在該點(diǎn)附近有關(guān)，與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義可以沒(méi)有關(guān)系。

因此，在一段函數(shù)圖像上，點(diǎn)x處的鄰域就可以被拆分成點(diǎn)x與點(diǎn)x的去心鄰域兩個(gè)部分。于是我們很自然地就得到了，要使得一段函數(shù)圖像連續(xù)，那么點(diǎn)x處就必須與它對(duì)應(yīng)的去心鄰域結(jié)合成一個(gè)整體。

上面的分析中，我們知道去心鄰域?qū)?yīng)的就是點(diǎn)x處的極限值，而點(diǎn)x處對(duì)應(yīng)的就是函數(shù)值，如此一來(lái)，要將他們聯(lián)系成一個(gè)整體，只需要讓函數(shù)值等于極限值即可。

由此，我們建立了函數(shù)連續(xù)的定義，自然就可以使用連成一個(gè)整體的【鄰域】了，以此類推，可導(dǎo)概念的建立也自然就是使用【鄰域】了。

三、為什么歸結(jié)原則要求鄰域去心

歸結(jié)原則的定義中提到了去心鄰域，假如我們不去心會(huì)怎樣呢？

首先，我們?cè)谏厦娴姆治鲋兄?，極限值等于函數(shù)值是【函數(shù)連續(xù)】的定義。也就是說(shuō)，對(duì)于較一般的函數(shù)來(lái)說(shuō)，極限值并不一定等于函數(shù)值。在上述定義中就有可能出現(xiàn)，a點(diǎn)為間斷點(diǎn)的情況。

其次，收斂于a的數(shù)列有可能可以取到a，也有可能永遠(yuǎn)取不到a。

結(jié)合以上兩點(diǎn)舉個(gè)例子，數(shù)列an=1/n和數(shù)列bn=0都是收斂于0的數(shù)列，若f(x)是一個(gè)在x=0處間斷（函數(shù)值跳躍/無(wú)定義）的函數(shù)，那么我們可以得到，當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)f（an）不一定等于f(bn)。

在這里我們發(fā)現(xiàn)了鄰域與去心鄰域的不同，我們可以簡(jiǎn)單理解成鄰域與去心鄰域?qū)瘮?shù)連續(xù)的要求條件不同。鄰域比去心鄰域?qū)瘮?shù)連續(xù)性的要求更強(qiáng)。