命題4.8：

可作一已知正方形的內(nèi)切圓

已知：正方形ABCD

求：作正方形ABCD的內(nèi)切圓

解：

作AB中點F

（命題1.10）

作AD中點E

（命題1.10）

過點F作FK∥AD或BC，于CD交點記為點K

（命題1.31）

過點E作EH∥AB或CD，于BC交點記為點H，于FK交點記為點G

（命題1.31）

證：

∵FK∥AD∥BC，EH∥AB∥CD

（已知）

∴四邊形AEGF是平行四邊形

（定義1.22）

∵正方形ABCD中，AB=AD

（定義1.22）

且AF=?AB，AE=?AD

（已知）

∴AF=AE

（公理1.1）

同理可證GH=GK，GE=GF

∴GE=GF=GH=GK

（公理1.1）

∴以點G為圓心，GE,GF,GH,GK任意一個為半徑作圓EFHK經(jīng)過其余的點

（公設1.3＆定義1.15）

∵GE⊥AD，GF⊥AB，GH⊥BC，GK⊥CD

（可證）

∴AB,BC,CD,AD切于圓EFHK

（命題3.16推論）

∴圓EFHK是正方形ABCD的內(nèi)切圓

（定義4.5）

證畢

此命題在本卷中未被使用

PS：倒數(shù)第三步的證明過程已被省略（因為原文中也沒寫）

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