之前我還覺(jué)得寫(xiě)不了廣相來(lái)著，現(xiàn)在想還可以試一下，試試把廣相的數(shù)學(xué)用文字和圖片理解（？）因?yàn)楹竺娴暮诙蠢碚摵苡腥?，包括黑洞熱力學(xué)，也就是霍金時(shí)代的一些理論，確實(shí)很漂亮，想拿出來(lái)介紹一下（雖說(shuō)我廣相只是學(xué)了個(gè)開(kāi)頭，后面基本是只看結(jié)論了的，希望我寫(xiě)的能夠理解）（漂亮！就是本系列的主旨！本期的主題是，漂亮的場(chǎng)方程?。?/span>

引言

還是先從歷史說(shuō)起。萬(wàn)有引力定律，是牛頓在很早就建立了的一條定律，它描述任意兩個(gè)物體之間都有引力，并且引力與兩物體的質(zhì)量成正比，與距離成平方反比。牛頓同樣還建立過(guò)一個(gè)牛頓第二定律，它描述物體運(yùn)動(dòng)的加速度與外力成正比，與質(zhì)量成反比。那么這里出現(xiàn)了兩個(gè)質(zhì)量。這兩個(gè)質(zhì)量，它們的作用完全不同，但是在牛頓之后的時(shí)代，這兩者都是同一個(gè)質(zhì)量似乎是人們的共識(shí)。為了嚴(yán)謹(jǐn)，我們現(xiàn)在給它們?nèi)〔煌拿?，管它們叫?span id="s0sssss00s" class="color-pink-03 font-size-16">引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量。這之后，有諸多的實(shí)驗(yàn)測(cè)量了物體的引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量是否相等（或 成正比），譬如最有名的伽利略在比薩斜塔上扔鉛球的實(shí)驗(yàn)（雖說(shuō)這個(gè)實(shí)驗(yàn)很有可能并未真正進(jìn)行過(guò)），證實(shí)不同質(zhì)量的物體在引力場(chǎng)下的加速度相同。之后也有很多的實(shí)驗(yàn)，在更高的精度上，證實(shí)了物體的引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等（或者說(shuō)成正比，在取標(biāo)準(zhǔn)單位制后，相等）。

那么，這兩個(gè)看似沒(méi)有關(guān)聯(lián)的量，一個(gè)代表它在引力場(chǎng)中受力的大小，一個(gè)代表它被推動(dòng)的難易程度，為什么會(huì)相等呢？

part2里，愛(ài)因斯坦在1905年，發(fā)表了《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》，建立了狹義相對(duì)論，認(rèn)為時(shí)間和空間是一個(gè)整體，叫做閔可夫斯基時(shí)空。

隨后愛(ài)因斯坦注意到了這個(gè)問(wèn)題。首先牛頓的萬(wàn)有引力定律和愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論并不相容，萬(wàn)有引力定律暗示引力是瞬間傳播的超距作用，與狹義相對(duì)論里信息最多以光速傳播矛盾。也就是說(shuō)，在現(xiàn)在的狹義相對(duì)論框架下，迫切需要一個(gè)新的引力理論填補(bǔ)空白。而且，這兩個(gè)質(zhì)量嚴(yán)格相等，暗示著在時(shí)空的一點(diǎn)放下任何物體，物體都會(huì)隨一個(gè)固定路徑，固定速度運(yùn)動(dòng)，與物體本身的質(zhì)量無(wú)關(guān)。

這種毫無(wú)個(gè)性的集體行為強(qiáng)烈地暗示著引力是整個(gè)時(shí)空背景的內(nèi)稟性質(zhì)，與其他力有實(shí)質(zhì)性的差別?！猍1]

那么這時(shí)，愛(ài)因斯坦就有了一個(gè)大膽的設(shè)想?；蛟S這個(gè)引力并不是先有一個(gè)力，而后力再拉動(dòng)物體。而是這個(gè)時(shí)空的幾何結(jié)構(gòu)讓物體自然的以這個(gè)軌跡運(yùn)動(dòng)。這就與物體的質(zhì)量啊引力啊無(wú)關(guān)了。在時(shí)空的固定點(diǎn)放下任何的一個(gè)自由物體，物體都會(huì)因?yàn)?strong>時(shí)空本身的結(jié)構(gòu)而以固定路徑，固定速度運(yùn)動(dòng)。

那么，這個(gè)時(shí)候，就與狹義相對(duì)論不同了。為了描述時(shí)空的幾何結(jié)構(gòu)，需要一個(gè)額外的數(shù)學(xué)工具，叫做微分幾何。詳述微分幾何有點(diǎn)難度，這里會(huì)嘗試以文和圖來(lái)淺顯地大致描述一下......

（所以事實(shí)上，廣義相對(duì)論是一個(gè)描述引力的理論，它是構(gòu)建在狹義相對(duì)論的基礎(chǔ)上，但是這并不意味著廣義相對(duì)論是狹義相對(duì)論的完備化，而是一個(gè)納入了新要素的推廣?？梢哉J(rèn)為，與名字“廣，狹”無(wú)關(guān)，這兩者是兩個(gè)不同的理論。）

彎曲的空間

廣義相對(duì)論涉及到彎曲的時(shí)空，那么彎曲的空間是什么樣子的呢？

定量化描述彎曲空間的量一般是曲率和撓率。首先舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，人類(lèi)生活在地球上，地球表面是個(gè)球面，這就是一個(gè)彎曲的二維空間。但是呢，之所以說(shuō)它是球面，是因?yàn)樗诒磺度胪獠康娜S空間來(lái)看的時(shí)候，它是球形彎曲的。這被叫做外曲率。而相對(duì)，如果只通過(guò)在曲面上的觀測(cè)而測(cè)得的彎曲程度，被叫做內(nèi)稟曲率。比如說(shuō)，一個(gè)柱面的內(nèi)稟曲率就是0（而外曲率并不為0），也就是說(shuō)，如果不跳到更高維空間（三維），只在曲面上進(jìn)行測(cè)量的話，是分不出一塊柱面和一塊平面的區(qū)別的。（當(dāng)然完整的柱面存在周期性而平面沒(méi)有，這是區(qū)別，但是這是廣域的性質(zhì)。這里所述的分不出區(qū)別，是只考慮在曲面上局域的測(cè)量，也就是相對(duì)曲面本身很小的一塊區(qū)域。）

有內(nèi)稟曲率的曲面，在幾何上的性質(zhì)和平面肯定是有區(qū)別的。比如說(shuō)，球面上的三角形內(nèi)角和是要大于180度的。比如我們?nèi)∵@樣一個(gè)三角形：

可以看到，這個(gè)三角形的三個(gè)角都是直角，內(nèi)角和是270度，并不是我們常見(jiàn)的歐幾里得幾何的180度。（p.s.事實(shí)上，我聽(tīng)說(shuō)曾經(jīng)有人測(cè)過(guò)地球上大三角形的內(nèi)角和（假設(shè)光行直線），由于具體出處不詳正確性不詳大家慎重相信，如果有人知道歡迎告訴我...）

這只是宏觀來(lái)看的一個(gè)例子。如果曲面更加復(fù)雜，每個(gè)地方的彎曲程度都不一樣，就需要一個(gè)量來(lái)定量描述彎曲程度了，也就是剛才提到的曲率和撓率。

那么在曲面內(nèi)，有什么方法可以觀測(cè)到曲率和撓率呢？幾何上來(lái)講，有撓率的空間，一個(gè)點(diǎn)沿兩個(gè)不同順序的向量平移會(huì)平移至不同的點(diǎn)；有曲率的空間，一個(gè)向量沿不同路徑平移后結(jié)果不相等。就像下圖這樣：

還是拿二維曲面直觀的來(lái)看，像這圖里一樣，一個(gè)向量沿著這個(gè)環(huán)形平移一圈之后，和原來(lái)不相等。

但是，我們還是需要一個(gè)微觀的定量的描述彎曲程度的量。這個(gè)量就是黎曼曲率張量，或者叫里奇張量R。

這個(gè)式子看不懂不要緊。里奇張量可以理解為，一個(gè)向量先沿b求導(dǎo)再沿a求導(dǎo)，與它先沿a求導(dǎo)再沿b求導(dǎo)之差。就算不知道具體的算法和定義，也可以看出與之前向量平移的圖類(lèi)似了吧。描述時(shí)空本身的量稱(chēng)為度規(guī)張量gab（其中ab是下標(biāo)），而曲率張量則是gab的一個(gè)函數(shù)。（對(duì)這里面的數(shù)學(xué)有興趣的同學(xué)可以參考文末的參考文獻(xiàn)[1]。）

（p.s.廣義相對(duì)論中的空間默認(rèn)都是無(wú)撓的，只有曲率沒(méi)有撓率。）

相對(duì)性原理與等效原理

好了，那么數(shù)學(xué)完了，接下來(lái)該物理了。狹義相對(duì)論的基本假設(shè)中有一狹義相對(duì)性原理：一切慣性系中的物理定律形式相同。相信很多人也聽(tīng)說(shuō)過(guò)，愛(ài)因斯坦將其推廣到了廣義相對(duì)性原理：一切參考系中的物理定律形式均相同，將慣性系與非慣性系平權(quán)。這一原理有許多描述，課本[1]中使用的描述是這樣的：

只有時(shí)空度規(guī)（及其派生量）才允許以背景幾何量的身份出現(xiàn)在物理定律的表達(dá)式中。

值得注意的是，僅在狹義相對(duì)論的框架下，這個(gè)“慣性系”是不能被推廣的。就比如孿生子悖論：一對(duì)孿生子，其中一人靜止不動(dòng)，另一人乘坐飛船出去再回來(lái)，這兩人會(huì)產(chǎn)生一個(gè)時(shí)間差。這兩個(gè)參考系一是慣性系，另一不是慣性系，所以它們是不等價(jià)的。在廣相的框架下，世界線的彎曲（也就是加速度）被體現(xiàn)在了度規(guī)上（也就是時(shí)空彎曲）。

廣義相對(duì)論的另一基本假設(shè)是等效原理：在引力場(chǎng)中自由下落的無(wú)自轉(zhuǎn)參考系與平直時(shí)空（無(wú)引力場(chǎng)的參考系）局域等價(jià)，其中的一部分也就是前面講到的引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量相等。愛(ài)因斯坦將弱等效原理：這兩個(gè)參考系內(nèi)所有力學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)相同，推廣到了愛(ài)因斯坦等效原理：這兩個(gè)參考系內(nèi)的一切（非引力的）實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)相同。愛(ài)因斯坦使用這個(gè)假設(shè)推理出了諸如光譜紅移、光線彎曲等結(jié)論。

愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程

這兩個(gè)假設(shè)是很基本的，也是看起來(lái)很應(yīng)該有的。但是只有這兩個(gè)等效假設(shè)，并不能完整的描述物理場(chǎng)景。廣相想要達(dá)到的，是：有質(zhì)量的物體會(huì)使周?chē)臅r(shí)空彎曲，彎曲時(shí)空中的自由物體會(huì)沿測(cè)地線移動(dòng)。這句話包含了兩點(diǎn)：質(zhì)量如何引起時(shí)空彎曲（場(chǎng)的形成），以及物體如何受彎曲時(shí)空影響（運(yùn)動(dòng)學(xué)）。第一個(gè)，我們需要一個(gè)場(chǎng)方程來(lái)描述。愛(ài)因斯坦（當(dāng)然是猜）出了一個(gè)方程，現(xiàn)稱(chēng)愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程：

（已使用自然單位制，c=4πε0=μ0/4π=?=kB=1）等式左側(cè)的g是時(shí)空度規(guī)張量，R是里奇張量，也就是時(shí)空結(jié)構(gòu)的函數(shù)；右側(cè)的T是物質(zhì)場(chǎng)的能動(dòng)張量，代表空間內(nèi)的物質(zhì)分布。這式子將“源（物質(zhì)分布）”（右側(cè)）決定“場(chǎng)（時(shí)空彎曲）”（左側(cè)）的物理美學(xué)體現(xiàn)的淋漓盡致。

但是，這個(gè)方程還與像麥克斯韋方程組那種“源”決定“場(chǎng)”的式子有些許區(qū)別。麥克斯韋方程組（參見(jiàn)part1的式23）同樣是左側(cè)是場(chǎng)，右側(cè)是源，它體現(xiàn)的是“電場(chǎng)的無(wú)旋分量由電荷決定，有旋分量由磁場(chǎng)變化率決定；磁場(chǎng)由電流與電場(chǎng)變化率決定”，如果給定了源，也就是等式右側(cè)的電荷和電流分布，等式左側(cè)的電磁場(chǎng)是可以直接求解的。但是愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程不一樣。即使給定物質(zhì)分布，等式右側(cè)的能動(dòng)張量Tab仍是與時(shí)空背景gab有關(guān)的。未知數(shù)同時(shí)出現(xiàn)在了左側(cè)和右側(cè)，而且它甚至還是高度非線性的二階微分方程。這導(dǎo)致它的精確解極其稀少。下面的史瓦西解就是它的第一個(gè)精確解（你看，第一個(gè)解還不是愛(ài)因斯坦解出來(lái)的。）

場(chǎng)方程的幾個(gè)精確解

在廣義相對(duì)論發(fā)表后不久，史瓦西（Schwarzschild）求得了愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程第一個(gè)精確解：史瓦西解。史瓦西解是一個(gè)描述靜態(tài)球?qū)ΨQ(chēng)星體外部引力場(chǎng)的解。史瓦西解的線元形式如下：

（此處開(kāi)始使用幾何單位制，即在自然單位制中再要求G=1）度規(guī)（ds2）本身的意義可以簡(jiǎn)單的理解為每一點(diǎn)附近不同方向向量的長(zhǎng)度。

在后面以及下一個(gè)part將會(huì)對(duì)史瓦西黑洞做更詳細(xì)的介紹，這里繼續(xù)簡(jiǎn)單介紹一下其他有名的場(chǎng)方程的解。史瓦西度規(guī)的外部是真空，不少實(shí)際星體帶有電荷，其周?chē)碾姶艌?chǎng)的能動(dòng)張量Tab也會(huì)產(chǎn)生引力效應(yīng)。RN度規(guī)即是球?qū)ΨQ(chēng)的帶電星體外部解：

（列出形式是因?yàn)楹拖乱籶art有關(guān)）。進(jìn)一步放低對(duì)稱(chēng)性要求至軸對(duì)稱(chēng)，還可以解出克爾-紐曼度規(guī)（Kerr-Newman），由于形式復(fù)雜就不列在這里了?？藸?紐曼度規(guī)描述的即是帶自轉(zhuǎn)的帶電星體，也就是比較一般的——克爾-紐曼黑洞。

史瓦西黑洞

引力是會(huì)使時(shí)空彎曲的，但是會(huì)彎曲到什么程度呢？和一般的引力又有什么區(qū)別呢？我們還是來(lái)看史瓦西度規(guī)：

仔細(xì)看一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)式子是有可能發(fā)散的。在r→0以及r→2M的時(shí)候，度規(guī)的某些分量會(huì)趨于無(wú)窮大。我們稱(chēng)這些點(diǎn)為奇點(diǎn)（singularity）。奇點(diǎn)的出現(xiàn)一般有兩個(gè)原因，一是度規(guī)本身沒(méi)什么問(wèn)題，只是坐標(biāo)系沒(méi)選好，這叫坐標(biāo)奇點(diǎn)，可以通過(guò)變換適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系去除；二是時(shí)空本身在這點(diǎn)就有問(wèn)題，這叫時(shí)空奇點(diǎn)。上式的史瓦西解，在r=2M處的奇點(diǎn)是坐標(biāo)奇點(diǎn)，在r=0處的奇點(diǎn)是時(shí)空奇點(diǎn)。事實(shí)上，r=2M（史瓦西半徑，實(shí)際上是個(gè)球面，換算至標(biāo)準(zhǔn)單位制就是r=2GM/c2）就是經(jīng)典黑洞中，光也無(wú)法逃出的范圍，也就是事件視界：在事件視界內(nèi)的光信號(hào)無(wú)法傳播至無(wú)窮遠(yuǎn)。

平直時(shí)空的球坐標(biāo)度規(guī)是ds2=-dt2+dr2+r2(dθ2+sin2θdφ2)，其中時(shí)間項(xiàng)是負(fù)的，空間三維是正的。但是在史瓦西度規(guī)中，當(dāng)r<2M在事件視界內(nèi)時(shí)，dt2前面的系數(shù)變成了正數(shù)，dr2的系數(shù)反而變成了負(fù)數(shù)！這又代表著什么呢？讀者可以思考一下，時(shí)間和空間的本質(zhì)區(qū)別在哪里呢？

它們的區(qū)別就是，時(shí)間只能單向流逝，而空間則可以雙向。對(duì)比一下，在黑洞的事件視界內(nèi)，外部視角的時(shí)間t承擔(dān)了“空間”的角色，而外部視角的半徑r則承擔(dān)了“時(shí)間”的角色，在事件視界內(nèi)的物體，r只能夠單向流逝，只能單向掉入黑洞而無(wú)法逃逸。

當(dāng)然這是定性的認(rèn)知，我們?nèi)匀挥卸坑?jì)算的手段。由于上面提到史瓦西度規(guī)在r=2M時(shí)有分量趨于無(wú)窮大，計(jì)算穿過(guò)r=2M球面的物體就需要改變一下坐標(biāo)系了。記得在狹義相對(duì)論中一般會(huì)用到的時(shí)空?qǐng)D與光錐的概念：

未來(lái)光錐表示該點(diǎn)可以影響到的時(shí)空區(qū)域，過(guò)去光錐表示可以影響到該點(diǎn)的時(shí)空區(qū)域。使用時(shí)空?qǐng)D可以較為直觀的表示時(shí)空的性質(zhì)。對(duì)于史瓦西黑洞，可以使用內(nèi)向Eddington坐標(biāo)系，如圖：

這兩族曲線即為內(nèi)向射入與外向射出的光線?？梢钥吹剑趓=2M外部的光錐仍然是正常的，而r=2M內(nèi)部的光錐則全部偏向了內(nèi)側(cè)！也就是說(shuō)，從那里向“外”射出的光線，仍然會(huì)受到黑洞的吸引而落入黑洞中心的奇點(diǎn)。

這一篇由于篇幅原因，就先在這里結(jié)束，下一篇會(huì)繼續(xù)介紹史瓦西黑洞、克爾-紐曼黑洞附近時(shí)空的相關(guān)性質(zhì)，以及這兩篇的重點(diǎn)：黑洞熱力學(xué)三定律。我們將會(huì)看到黑洞熱力學(xué)與傳統(tǒng)的熱力學(xué)之間美妙的相似性，感嘆宇宙的神奇之處。

結(jié)語(yǔ)

廣義相對(duì)論適用于大尺度結(jié)構(gòu)，是關(guān)于引力的理論，是關(guān)于時(shí)間與空間的理論，是關(guān)于宇宙的理論。古人云：上下四方曰宇，古往今來(lái)曰宙。廣義相對(duì)論為理解我們宇宙的奧妙提供了一把有力的工具。

參考文獻(xiàn)：[1]梁燦彬，《微分幾何入門(mén)與廣義相對(duì)論》。

附錄：上級(jí)者向

細(xì)心的讀者可能看出來(lái)了，文中有一些并沒(méi)太敘述完整的部分，這些部分會(huì)涉及到額外的問(wèn)題。

(1)在牛頓的萬(wàn)有引力定律里，提到了物體在引力場(chǎng)中受力的大小，對(duì)應(yīng)的還有一種產(chǎn)生引力場(chǎng)的強(qiáng)弱的質(zhì)量，這種主動(dòng)引力質(zhì)量和被動(dòng)引力質(zhì)量也是本質(zhì)上不同的兩個(gè)質(zhì)量，在萬(wàn)有引力時(shí)，由于牛頓第三定律，作用力與反作用力相等，這兩個(gè)質(zhì)量相等似乎是顯而易見(jiàn)的。但是在廣義相對(duì)論中，引力并不是一種力，這兩者就變成了不同的兩個(gè)概念。這兩者在實(shí)驗(yàn)中為何相等，現(xiàn)在還不是很清楚。（參考：質(zhì)量 -?維基百科，自由的百科全書(shū)#cite_note-18）

(2)愛(ài)因斯坦等效原理處，敘述為兩個(gè)參考系內(nèi)的一切非引力的實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)相同。對(duì)應(yīng)還有一種強(qiáng)等效原理，它考慮了參考系里的自引力系統(tǒng)，也就是對(duì)參考系里的兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力相關(guān)的實(shí)驗(yàn)，結(jié)果也應(yīng)相同。弱等效原理已被大部分實(shí)驗(yàn)證實(shí)，廣義相對(duì)論滿(mǎn)足強(qiáng)等效原理，但是其余的引力度規(guī)理論有很大可能不滿(mǎn)足強(qiáng)等效原理。如果有關(guān)強(qiáng)等效原理的實(shí)驗(yàn)給出正結(jié)果，那么廣義相對(duì)論可能就是唯一正確的引力理論。

(3)你沒(méi)看錯(cuò)，結(jié)尾就是放了一張白井黑子的圖。