Kira | 3-2 泰勒公式，3大核心考點

1??用泰勒公式求極限

常用麥克勞林公式

【泰勒展開到幾次項?】x→0

上下同階原則：分母x?分子把能出現(xiàn)的所有情形都展出來

冪次取低原則：f(x)±g(x), f(x)與g(x)同步展開到不抵消最低次項

例1

• x·o(x2) =o(x3)
• o(x3) -o(x3) =o(x3)

• 也可以提cosx
• 乘除用等價無窮小，加減用麥克勞林公式

例2

• 如果分子有低于4次的項，那么整個極限是0，但是一般不會這樣出題
• 建議相乘的時候，從次數(shù)小的往次數(shù)大的小，一般低次項都被消掉了
• 高于分母的項數(shù)統(tǒng)稱高階無窮小

2??用泰勒公式求高階函數(shù)

泰勒公式：①含大量x?高階導(dǎo)數(shù)值；②有唯一性

【注】泰勒公式僅能求一點處f(n)(x?)，而不可求f(n)(x)表達式.

例3

• 泰克展開式的唯一性：x?系數(shù)唯一

3??用泰勒公式做證明題

關(guān)鍵問題：①展到幾階?②x和x?的選擇.

設(shè)f(x)在包含x?的區(qū)間(a,b)內(nèi)有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，在區(qū)間[a,b]上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對任意x∈[a,b]有

• 拉格朗日有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，展到n階，余項寫n+1階
• x是被展開點
• ①給定函數(shù)值的點
• ②區(qū)間斷點
• ③任意點
• ④中點
• x?展開點
• ①各階導(dǎo)數(shù)信息多的點
• ②需估計導(dǎo)數(shù)值的點
• ③任意點
• ④中點

例4

• 找x?，題中給了導(dǎo)數(shù)值
• f(x)≤2恒成立

例5

• 二階可導(dǎo)，展到一階
• x?選擇極大值點，設(shè)c
• f(1)和f(0)都要找一下

例6

• x?選任一點
• x在端點找
• f(1) -f(0)
• 套絕對值放縮
• |a + b +c| ≤|a| +|b| +|c|