我們知道，對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)事件，其獨(dú)立性定義為

對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量

也就是

這是由邊緣概率密度和邊緣分布函數(shù)對(duì)兩個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立性判斷的方法。 那么，能不能通過期望和方差的方法進(jìn)行判斷呢？

由下面的定理：

并且X，Y相互獨(dú)立時(shí)

但是反過來，由

這個(gè)前提，能不能判斷X，Y相互獨(dú)立呢？看下面的反例：

另外

可見

只是可以推導(dǎo)出協(xié)方差等于0,即相關(guān)系數(shù)等于0，也就是X,Y不相關(guān)，但是并不能推導(dǎo)出兩者相互獨(dú)立。

簡(jiǎn)單總結(jié)：

1：兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性只能通過聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)，或者聯(lián)合概率密度和邊緣概率密度來進(jìn)行判斷。

2：隨機(jī)變量X， Y相互獨(dú)立可以推出E(XY)=E(X)E(Y) ，也就是可以推導(dǎo)出兩者不相關(guān)，但不能說明兩者相互獨(dú)立。

3：可見，兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān)并非一定能推得兩者相互獨(dú)立的結(jié)論。