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數(shù)學(xué)雜談:駁橢圓向拋物線變化的畸變

2023-07-24 23:34 作者:Ymprover  | 我要投稿

這幾天考慮能否通過某些手段將橢圓變?yōu)閽佄锞€,結(jié)果看到一個(gè)方法,感覺不太對(duì)。

開門見山,先看看那個(gè)人咋做的。

先考慮一個(gè)左頂點(diǎn)恒為(0, 0),中心為(a, 0)的橢圓,有%5Cfrac%7B(x-a)%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1~(a%3Eb%3E0).

考慮?e%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%20a%5E2-b%5E2%7D%7D%7Ba%7D%20,即則原方程可轉(zhuǎn)化為%5Cfrac%7B(x-a)%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B(e%5E2-1)a%5E2%7D%3D1.

本式等價(jià)于(e%5E2-1)%20x%5E2-2(e%5E2-1)ax%2By%5E2%3D0,

即?2(e%5E2-1)ax-y%5E2%3D(e%5E2-1)x%5E2%20,符合二次曲線一般方程.

t%3D(e%5E2-1)a,則2tx-y%5E2%3D%5Cfrac%7Bt%7D%7Ba%7D%C2%B7%20x%5E2%20.

考慮2tx-y%5E2%3D%5Clim_%7Ba%5Cto%E2%88%9E%7D%20%20%5Cfrac%7Bt%7D%7Ba%7D%C2%B7%20x%5E2%20%3D0,則y%5E2%3D2tx

所以上式與2(e%5E2-1)ax-y%5E2%3Dx%5E2%5Clim_%7Be%5Cto1%7D(e%5E2-1)%3D0?等價(jià).

故當(dāng)橢圓中心橫坐標(biāo)無窮大時(shí),橢圓就變成了拋物線.

當(dāng)然,這個(gè)證明好像是錯(cuò)誤的,因?yàn)閠是a的函數(shù)且次數(shù)相同,所以t/a本身就不隨a的變化而變化,即e與a嚴(yán)格不相關(guān)。所以這是一個(gè)循環(huán)論證,相當(dāng)于沒解釋。

總感覺圓錐曲線中拋物線很特別:他的標(biāo)準(zhǔn)方程不是%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bp%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bq%7D%3Dk~(pqk%E2%89%A00)形式的。

不過我希望存在一種能直接統(tǒng)一圓錐曲線的方法,只是我不知道罷了。


諸多謬誤,還請(qǐng)大家指正awa

數(shù)學(xué)雜談:駁橢圓向拋物線變化的畸變的評(píng)論 (共 條)

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