問題引入：甲，乙，丙三人相互傳球.從甲開始傳，5次傳遞后回到甲有幾種傳遞方式.

除了傳統(tǒng)的類似于樹狀圖的列法以外，我們還可以將每一輪可傳人數以及傳遞方式分別列起來.如

如加以延伸得

其中可以分為兩部分，其為中軸與兩側，兩側均相等，為左右對稱.其中中軸即為傳回自身，而兩側即為傳給他人.每項均等于除自己以外的前一項的和，即為

且觀察發(fā)現中項和側項以周期性差值為1，－1.則將中項與側項分別看成兩個數列am和bm.由于可知

可分別求出am和bm的通項.以第一層為0次傳球，a0=0,b0=0,bm=am+(－1)∧m.

1.以am推出am與bm的通項

由于可知a0=0,a1=0,a2=(n－1),a3=(n－1)(n－1－1)……得am=(n－1)(a(m－1)+(－1)∧m) .(m≥2).求通項得

am/(n－1)∧(m+1)=a(m－1)/(n－1)∧m+(1/(1－n))∧m=1/(1－n)n－(n－1)/n×(1/(1－n)∧(m+1)

即am=(n－1)/n×[(n-1)^(m-1)-(-1)^(m-1)]

bm=1/n[(n-1)^m-(-1)^m]

2.以bm推出bm和am的通項

由于bm=(n-2)b(m-1)+(n-1)b(m-2)

其特征根方程為x2=(n－2)x+(n－1)

Δ=n2,x=(n－2±n)/2,x1=n－1,x2=－1.

則bm=α1(n－1)∧m+α2(－1)∧m

帶入b1=1，b2=n-2

解得α1=1/n,α2=－1/n

如n=4，m=9,則a9=3/4(3∧8－1)=4920,bm=1/4(3∧9+1)=4921