拉普拉斯變換和傅里葉變換是眾所周知的，然而其本質(zhì)確不盡周知?？梢哉f這兩個(gè)變換都是時(shí)頻變換，其逆變換都是頻時(shí)變換。這里不多言時(shí)域與頻域的變換關(guān)系，只是說明他們可以用來求解微分方程。

????????拉普拉斯變換是從冪級數(shù)而來，∑x^n=∑exp(n*ln x)，令s=-ln x，由0<x<1可知s>0，函數(shù)自然可以變換成∑f(n)*exp(-n*s)，這就是拉普拉斯變換L(f(x))=∫ f(x)*exp(-s*x) dx,(0,+∞)積分。注意：拉式變換雖然從冪級數(shù)而來，其本質(zhì)仍是時(shí)頻變換，和傅立葉變換是相通的。

????????我說不定積分可以用拉普拉斯變換求解，但是有人確說拉普拉斯變換要求(0,+∞)的限制而不能用，我只能說我和他爭論也沒用。拉式變換限制的根本不是原函數(shù)，而是變換後的函數(shù)定義域，取原函數(shù)求部分區(qū)間積分完全能代表整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，變換后定義域的限制完全可以在復(fù)數(shù)域上擴(kuò)寬，況且拉普拉斯逆變換可不是實(shí)數(shù)域積分，直接在復(fù)數(shù)軸上(-∞,+∞)積分，能被這點(diǎn)限制住的話，那還如何用于微分方程的求解？大多數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換都存在，因此可以通過拉式變換求解。

現(xiàn)在舉例說明拉氏變換的應(yīng)用：

一、求解微分方程

先對兩邊取拉普拉斯變換有：

然後，進(jìn)行拉普拉斯逆變換：（有理函數(shù)拆分，比較麻煩）

二、求不定積分

不定積分可以等價(jià)轉(zhuǎn)換為微分方程，自然可以拉普拉斯變換。

對函數(shù)積分，實(shí)際上就是拉普拉斯變換乘上1/s.

求解還是可以直接進(jìn)行分解的：

此類冪指函數(shù)的乘積與和都可以這樣求解：

什么是冪指函數(shù)？

????????“冪”即冪函數(shù)，“指”即指數(shù)函數(shù)，由于三角函數(shù)可以寫出指數(shù)形式，是指數(shù)函數(shù)的和；冪指函數(shù)的乘積與和運(yùn)算結(jié)果仍然可以像前面所述那樣求解微分方程（不定積分），因?yàn)榇祟惡瘮?shù)的拉普拉斯變換較簡單。

????????然而進(jìn)行兩次變換解題比較麻煩，所以考試時(shí)候推薦使用待定系數(shù)法，熟悉變換後可以直接知道解的形式，解方程組還是最快的。實(shí)際運(yùn)用中，直接計(jì)算機(jī)運(yùn)算拉普拉斯變換沒壓力。

????????所謂“表格法”其背后的原理雖說是分部積分，其實(shí)應(yīng)該是拉普拉斯變換，拉式不能變的“表格法”也基本是列不出來的，而分部積分其實(shí)適用度比“表格法”要廣的多。