首先來觀察收縮的定義：

我們先考察內射的性質，有l(wèi)emma：

證明如下：

簡單的將內射和收縮結合看即可。 接下來主要觀察有關S1的性質，首先有非收縮定理：

證明如下：

這條定理看似簡單，實則會在之后的定理和復雜圖形中發(fā)揮一定的作用。 接下來觀察一個非常重要的lemma

第一部分證明如下：

其中誘導出的映射由商映射的定理22.2可以得出。 交換圖如圖

定理22.2如下圖：

g即是我們需要的k。 第二部分證明如下：

第三部分證明如下：

第三部分都與第一部分證明類似，都是利用商映射的性質。 那么通過此定理，我們可以得到一個推論：

證明其不是零倫的我們只需要證明這兩個映射誘導同態(tài)不是平凡同態(tài)就可以了（定理55.3），這時對于第一個內射，我們只要找一個收縮來證明題目中映射的誘導同態(tài)是單射即可（定理55.1）。而對于第二個，誘導同態(tài)是恒等同態(tài)，自然是單射。 找到的收縮如下：

接下來觀察一個有意思的定理：

首先解釋一下什么叫向量場和非蛻化：

證明如下：

這是示意圖。其中最后一個矛盾用到了定理55.4. 于是乎，我們有著名的圓盤的Brouwer不動點定理：

證明思路也很簡單，利用定理55.5和反證法：

（ps：感覺munkres書上證明有點問題，按下不表） 實際上不僅對二維平面上成立，對任意n維都有Brouwer不動點定理。 接下來我們觀察上述定理在矩陣中的應用：

該推論重點就是將矩陣A看成一個三維空間的線性變換來考慮。實際上，只要A是任何一個n維的正實數矩陣，它均有一個正的實特征值，證明方法與上述幾乎一摸一樣。