一哥 | 立體幾何位置關(guān)系

1??線面平行

方法一：證明線面平行

證明l平行于α：

• 在α中找到一個(gè)線m【m?α】
• l平行于線m【l//m】
• l不在面α上【l?α】

推出來l//α

方法二：用面面平行過度

其中一個(gè)面內(nèi)任意一條直線都平行于另外一條面

2??面面平行

方法一：通過線線平行過度

在上面找兩條相交直線l、m

在上面也找兩條相交直線l'、m'

l與l’平行，m與m’平行

兩條相交直線確定一條面

P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，Q是PA中點(diǎn)，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，求證：PC//平面BDQ

QO是△APC的中位線

PC // QO

QO?平面BDQ

PC?平面BDQ

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD上平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn).

（III）求證：EF//平面PCD.

作PC的中點(diǎn)T

FT //= ?BC //= ?AD //= DE

∴四邊形EDTF是平行四邊形

EF // DT

DT?面PDC

EF?面PDC

由四棱柱ABCD-A?B?C?D?截去三棱錐C?-B?CD?后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A?E⊥平面ABCD

（I）證明：A?O/平面B?CD?

作B?D?中點(diǎn)T，連接CT

A?T //= ?AC //= OC

（II）設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A?EM⊥平面B?CD?

B?D? //= BD

∵B?D? ⊥ ME，A?E⊥B?D?

∴D?B?⊥面A?EM

∴平面A?EM⊥平面B?CD?

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)

（I）求證：BD⊥平面PAC

BD⊥AC，BD⊥AP，AC和AP相交于面PAC

∴BD⊥平面PAC

（II）若∠ABC=60°，求證：平面PAB工平面PAE;

∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥AB，PA⊥AE

因?yàn)椤螦BC=60°，AB=BC

∴BA⊥AE

∵BA⊥AE，EA⊥AP，AP∩AE

∴EA⊥面ABP

∵EA?面PAE，EA⊥ABP

∴EA⊥面ABP

（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF//平面PAE？說明理由.

作BP中點(diǎn)為T，PA中點(diǎn)為S

證明TS //= CE

3??線面垂直

• 一個(gè)線垂直于面內(nèi)兩條相交直線
• 兩個(gè)面垂直，一個(gè)線垂直于兩個(gè)面的交線，那么垂直于另外一個(gè)面

4??面面垂直

• 如果一個(gè)線垂直于一個(gè)面，過這個(gè)線的任意一個(gè)面都垂直于這個(gè)面
• 兩個(gè)面的法向量垂直

5??線線垂直

平移

利用線面垂直

三垂線定理