????????有3個質(zhì)地完全相同的盒子，第1個盒子有1個藍(lán)球和1個紅球，第2個盒子有2個紅球，第3個盒子有3個藍(lán)球。求：先取出一球是紅球，再取出一球是紅球的概率？

????????如果你回答的是1/3，那么我要跟你說：“對不起，你答錯了！”首先我告訴你正確的答案是2/3。為什么是2/3？我會從小學(xué)奧數(shù)、初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)3個不同的解題角度來解釋：

????????我們先來看用小學(xué)奧數(shù)怎么解？：

????????把3個盒子分別標(biāo)為盒1、盒2、盒3；紅球標(biāo)上紅1、紅2、紅3。

????????通過觀察圖片，我們發(fā)現(xiàn)，紅1在盒1里，紅2和紅3在盒2里；∵盒3里全是藍(lán)球，不合題意，∴我們可以不去考慮盒3。根據(jù)題意，從盒1里只能取紅1而不能取藍(lán)球，那么我把紅1取出后，再取出的球必定是藍(lán)球；雖然盒1中取出1球有2種可能，但是其中符合題意的只有取紅1一種可能，那么從盒1中取出1球。另外，我們又發(fā)現(xiàn)紅2、紅3在盒2里，根據(jù)題目已知條件，可以知道，顯然盒2中一定能取到紅球，即取出紅2后必定取出紅3，反之同理。在這3種情況中，有2種情況時取出一個紅球后必定再取出的是紅球，并且是等概率事件。答案就是2/3了。

? ? ? ? 該解法的流程圖如下：

? ? ? ????我們先來看這個流程圖：最開始是對每個盒子上、每個紅球各自進(jìn)行編號作了說明，接下來結(jié)合題意拆分成了從盒1、盒2中均拿出一個紅球分類列舉了所有情況，接下來這兩種情況各自對“先取出一球是紅球，再取出一球是不是紅球”進(jìn)行了各自的判斷，通過判斷得出相對應(yīng)的結(jié)果，接下來可以知道，盒1中必取出藍(lán)球后不可能再取到紅球，而盒2中必然還能再去到紅球接下來再對盒2中取出“紅2”后進(jìn)行判斷下一個能取出什么紅球，通過得出“必取出紅球”并與“必取出藍(lán)球”聯(lián)立來得出該事件為等概率事件，最后求得先取出一球是紅球，再取出一球是紅球的概率為2/3。

??????????我們再來看用初中數(shù)學(xué)怎么解？：

????????先把藍(lán)球分別標(biāo)上藍(lán)1、藍(lán)2、藍(lán)3。

????????可不可以同時取一紅一藍(lán)？當(dāng)然可以?！哳}目中提到的是“取紅球”，而不是“取藍(lán)球”，采用這種控制部變量的思想解決問題不會結(jié)果的，但前提必須是等概率事件。我先假設(shè)取出紅1，再把取一紅一藍(lán)所有可能列舉出來（具體如下圖）：

????????答：根據(jù)列表可知，∵一共有9種可能，其中可以取一紅一藍(lán)的有6種可能，∴P（先取出一球是紅球，再取出一球是紅球）=2/3。

????????我在表格中第1列打“×”是∵我已經(jīng)把紅1先取走了，這時無論哪個藍(lán)球與1號取走都是不可能的。但此時紅2、紅3還在，∴紅2或紅3就一定能和任意一個藍(lán)球取走，正是這樣我才在表格第2、3列打“√”。也就是說，打“×”表示不可能一紅一藍(lán)同時取走，反之打“√”表示一紅一藍(lán)一定可以取走。最后套用概率公式求最終的概率寫答語就可以了。

????????但是要注意你在答題的時候就不能打“√”“×”了。

? ? ? ? 我們再來看看這個流程圖：最開始的語句是在上個流程圖的第一個語句的基礎(chǔ)上多加了標(biāo)記“藍(lán)1”“藍(lán)2”“藍(lán)3”，接下來通過分類討論說明取出每個球后還剩什么紅球，但無論怎樣，此時都只剩2個紅球，從而得知是等概率事件，接下來判斷取出“紅1”后再取一紅一藍(lán)后哪個紅球不能和藍(lán)球取，哪個紅球能和藍(lán)球取，進(jìn)而得出所有可能，最后通過寫答語求出先取出一球是紅球，再取出一球是紅球的概率。

????????我們最后來看用高中數(shù)學(xué)怎么解？：

????????結(jié)合概率的基本性質(zhì)，可以把該問題拆成2個事件：設(shè)“先取出一球是紅球”為事件A，“再取出一球是紅球”為事件B。觀察題目已知條件，套用概率公式P（A）=A包含的基本事件數(shù)/基本事件總數(shù)=m/n可以求得事件A的概率為1/2，事件B的概率為2/5?！咴撌录?zhí)行的步驟屬于分步執(zhí)行的，∴用乘法公式：P（AB）=P（A）×P（B）=（1/2）×（2/5）=1/5。

????????為什么算出的不是2/3而是1/5？錯在哪里了？

????????∵拿走一個球之后，基本事件發(fā)生的總可能數(shù)必然會減1，那么基本事件發(fā)生的次數(shù)也就隨之減1了，況且分?jǐn)?shù)的分母和分子同時減去同一個數(shù)后大小不變是假命題。說到底，就是事件A發(fā)生時會影響事件B的發(fā)生，屬于互斥事件。

????????那么怎樣求才能求得結(jié)果為2/3呢？這就要思考如何將其事件轉(zhuǎn)化為獨(dú)立事件：

????????事件A不變，事件B變成“先取出一球是紅球，再取出一球是紅球”。從字面上我們就可以看出，事件B的句子“先取出一球是紅球”這部分包含于事件A。這就說明了事件B是在事件A發(fā)生的基礎(chǔ)上發(fā)生的。至于實(shí)際含義呢，就是正∵只有盒2中的2個球都是紅色的，無論去了哪個，剩下取出的一個球都是紅球。進(jìn)而我們可以套用條件概率公式解決：P（A|B）=P（AB）/P（B）=包含的基本事件數(shù)/B包含的基本事件數(shù)=（1/3）/（1/2）=2/3。

? ?????我們最后看這個流程圖：最開始把一個事件拆成兩個事件，其中事件A為“先取出一球是紅球”，事件B為“先取出一球是紅球，再取出一球是紅球”，接下來判斷兩個事件是互斥還是獨(dú)立，如果是用乘法公式算的，那么就是互斥的，如果使用條件概率算的，那么就是獨(dú)立的，接下來不再繼續(xù)用乘法公式計算，而是用條件概率公式繼續(xù)計算，最后套用條件概率公式算出結(jié)果。

?????總結(jié)：在這3種解法中，雖然用小學(xué)奧數(shù)的方法解決起來最麻煩，用高中數(shù)學(xué)的方法解起來最方便，但是小學(xué)奧數(shù)的解題思路最容易理解，高中數(shù)學(xué)的解題思路最難理解，還包括其中的流程圖。

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