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資產(chǎn)價格具有隨時間變化的波動性（逐日收益率的方差）。在某些時期，收益率是高度變化的，而在其他時期則非常平穩(wěn)。隨機波動率模型用一個潛在的波動率變量來模擬這種情況，該變量被建模為隨機過程。下面的模型與 No-U-Turn Sampler 論文中描述的模型相似，Hoffman (2011) p21。

這里，r是每日收益率序列，s是潛在的對數(shù)波動率過程。

建立模型

首先，我們加載標普500指數(shù)的每日收益率。

1. 


2. returns = (pm.get_data("SP500.csv"))

3. returns[:5]

正如你所看到的，波動性似乎隨著時間的推移有很大的變化，但集中在某些時間段。在2500-3000個時間點附近，你可以看到2009年的金融風暴。

1. 


2. ax.plot(returns)

指定模型。

1. 


2. 


4. GaussianRandomWalk('s', hape=len(returns))

5. nu = Exponential( ?.1)

6. r = StudentT( ?pm.math.exp(-2*s),

7. obs=returns)

擬合模型

對于這個模型，最大后驗(Maximum?A?Posteriori,MAP)概率估計具有無限的密度。然而，NUTS給出了正確的后驗。

1. pm.sample(tune=2000

2. Auto-assigning NUTS sampler...

?

plot(trace['s']);

觀察一段時間內(nèi)的收益率，并疊加估計的標準差，我們可以看到該模型是如何擬合一段時間內(nèi)的波動率的。

1. plot(returns)

2. plot(exp(trace[s]);

np.exp(trace[s])

參考文獻

1. Hoffman & Gelman. (2011).?The No-U-Turn Sampler: Adaptively Setting Path Lengths in Hamiltonian Monte Carlo.

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