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柯西不等式，新高考還能用嗎？（2020新高考Ⅱ圓錐曲線）

2022-08-12 21:23 作者:數(shù)學老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2020新高考Ⅱ，21）已知橢圓 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3Eb%3E0$ ）過點 $M%5Cleft(%202%2C3%20%5Cright)%20$ ，點 $A$ 為其左頂點，且 $AM$ 的斜率為 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ .

（1）求 $C$ 的方程；

（2）點 $N$ 為橢圓上任意一點，求 $%5Cbigtriangleup%20AMN$ 面積的最大值.

解：（1）由題可知 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09%5Cfrac%7B2%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B3%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1%2C%5C%5C%09%5Cfrac%7B3-0%7D%7B2-%5Cleft(%20-a%20%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

解得 $a%3D4$ ， $b%3D2%5Csqrt%7B3%7D$ ，

所以 $C$ 的方程為 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B16%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B12%7D%3D1$ .

（2）先畫圖

易知

$%5Cleft%7C%20AM%20%5Cright%7C%3D%5Csqrt%7B%5Cleft(%20-4-2%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%200-3%20%5Cright)%20%5E2%7D%3D3%5Csqrt%7B5%7D$ ，

直線 $AM$ 的方程為 $y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20x%2B4%20%5Cright)%20$ ，

即 $x-2y%2B4%3D0$ ，

設 $N$ 的坐標為 $%5Cleft(%20x_0%2Cy_0%20%5Cright)%20$ ，則

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09S_%7B%5Cbigtriangleup%20AMN%7D%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%203%5Csqrt%7B5%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20x_0-2y_0%2B4%20%5Cright%7C%7D%7B%5Csqrt%7B1%5E2%2B2%5E2%7D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20x_0-2y_0%2B4%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20%5Csqrt%7B%5Cleft%5B%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx_0%7D%7B4%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7By_0%7D%7B2%5Csqrt%7B3%7D%7D%20%5Cright)%20%5E2%20%5Cright%5D%20%5Ccdot%20%5Cleft%5B%204%5E2%2B%5Cleft(%20-4%5Csqrt%7B3%7D%20%5Cright)%20%5E2%20%5Cright%5D%7D%2B4%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20%5Csqrt%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7B16%7D%2B%5Cfrac%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7B12%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%2064%7D%2B4%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20%5Csqrt%7B1%5Ctimes%2064%7D%2B4%20%5Cright%7C%3D18%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

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