今天看一個關(guān)于復(fù)合函數(shù)連續(xù)性的定理——

73連續(xù)函數(shù)的疊置

定理：

1. g（y）定義在區(qū)間Y內(nèi)，f（x）定義在區(qū)間X內(nèi)；

2. 對于任意x∈X，有f（x）∈Y；

3. 如果f（x）在x0∈X處連續(xù)，g（y）在y0=f（x0）∈Y處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)g（f（x））在x0處連續(xù)。

1. 要證復(fù)合函數(shù)g（f（x））在x0處連續(xù)，即證對于任意小數(shù)ε>0，存在δ>0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時，|g（f（x））-g（f（x0））|<ε；

2. 如果g（y）在y0=f（x0）∈Y處連續(xù)，即對于任意小數(shù)ε>0，存在σ>0，當(dāng)0<|y-y0|=|f（x）-f（x0）|<σ時，|g（y）-g（y0）|=|g（f（x））-g（-f（x0））|<ε；

3. 如果f（x）在x0∈X處連續(xù)，即對于2中給定小數(shù)σ>0，存在δ>0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時，|f（x）-f（x0）|<σ；

4. 結(jié)合2、3：對于任意小數(shù)ε>0，存在δ>0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時，|g（f（x））-g（-f（x0））|<ε，即復(fù)合函數(shù)g（f（x））在x0處連續(xù)。

例子：x^u=e^（u*ln x）

1. x^u=e^（u*ln x），可以看做g（y）=e^y，y=f（x）=u*lnx的復(fù)合；

2. 因?yàn)間（y）和f（x）都在R+上連續(xù)，所以x^u在R+上連續(xù)。

到這里！