命題2.8：

如果任意兩分一條線段，由原線段好一個小線段構(gòu)成的矩形的四倍與另一小線段上正方形的和，等于原線段加上前一小段上的正方形

已知：線段AB，點(diǎn)C在AB上

求證：4S矩形AB×BC+S正方形AC2=S正方形（AB+BC）2

解：

在AB延長線上截BD=BC

（公設(shè)1.2＆命題1.3）

在AD上建正方形AEFD

（命題1.46）

作如下圖形

?

?

證：

∵BD=KN，BC=GK

（命題1.34）

且BD=BC

（已知）

∴GK=KN

（公理1.1）

同理QR=RP

∵AD∥MN

（已知）

∴S正方形BCGK=S正方形BDNK

（命題1.36）

∵M(jìn)N∥OP

（已知）

∴S正方形GKRQ=S正方形KNPR

（命題1.36）

∵?CDPQ中，S正方形BCGK=S正方形KNPR

（命題1.43）

∴S正方形BCGK=S正方形BDNK=S正方形BCGK=S正方形KNPR

（公理1.1）

∴S正方形BCGK+S正方形BDNK+S正方形BCGK+S正方形KNPR=4S正方形BCGK

（公理1.2）

∵BC=BD，BD=BK=CG，BC=GK=GQ

（已知）

∴CG=GQ

（公理1.1）

∵AE∥CH

（已知）

∴S矩形AC×CG=S矩形MG×GQ

（命題1.36）

∵QR=RP，OP∥EF

（已知）

∴S矩形PF×PR=S矩形RL×RQ

（命題1.36）

∵?MKLE中，S矩形MG×GQ=S矩形RL×RQ

（命題1.43）

∴S矩形AC×CG=S矩形MG×GQ=S矩形PF×PR=S矩形RL×RQ

（公理1.1）

∴S矩形AC×CG+S矩形MG×GQ+S矩形PF×PR+S矩形RL×RQ=4S矩形AC×CG

（公理1.2）

∵S正方形BCGK+S正方形BDNK+S正方形BCGK+S正方形KNPR=4S正方形BCGK

（已證）

∴S磬折形STU=4S矩形AB×BK

（公理1.2）

∵BK=BD=BC

（已知）

∴S矩形AB×BK=S矩形AB×BC

（公理1.1）

∴S磬折形STU=4S矩形AB×BC

（公理1.1）

∵?ACQO中，AC=QO

（命題1.34）

∴S正方形AC2=S正方形QO2

（公理1.1）

∴4S矩形AB×BC+S正方形AC2=S磬折形STU+S正方形QO2

（公理1.2）

∵S磬折形STU+S正方形QO2=S正方形（AB+BC）2

（已知）

∴4S矩形AB×BC+S正方形AC2=S正方形（AB+BC）2

（公理1.1）

證畢

此命題在《幾何原本》中再未被使用