第十章 高階導(dǎo)數(shù)（側(cè)重計算）

一、知識點

1. 高階導(dǎo)數(shù)定義：
   ?

   04:32

   ?
2. 注：f(x)n階可導(dǎo)=>f(x)直至n-1階連續(xù)可導(dǎo)。
3. 求導(dǎo)與奇偶性的變化：
   ?

   17:58

   ?
   （前提：f(x)可導(dǎo)）
4. f(x)奇函數(shù)=>f'(x)偶函數(shù)（反之不成立）（因為有個C）
5. f(x)偶函數(shù)<=>f'(x)奇函數(shù)（C不影響函數(shù)關(guān)于x軸對稱）
6. 求高階導(dǎo)數(shù)的方法（顯函數(shù)）: (歸納法、公式法、泰勒)
   ?

   28:35

   ?
7. 歸納法：
   ?

   29:12

   ?
8. 直接求，找規(guī)律
9. 一些常見函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的記憶：
10. sinx和cosx的n階導(dǎo)數(shù)：
    ?

    32:11

    ?
11. (sinx)^(n)=sin(x+n*(π/2))
12. (cosx)^(n)=cos(x+n*(π/2))
13. 冪函數(shù)n階導(dǎo)推論記憶(見圖1)：
    ?

    35:43

    ?
14. y=ln(1+x)的n階導(dǎo)數(shù)：
    ?

    39:40

    ?
15. 轉(zhuǎn)換成求冪函數(shù)n-1階導(dǎo)數(shù)問題
16. 兩個函數(shù)乘積的n階導(dǎo)（萊布尼茲公式）：
    ?

    42:14

    ?
    （見圖2）
17. 公式法：
18. 公式見圖3
19. 泰勒：
    ?

    01:01:35

    ?
    （見圖4）
20. 對比：
21. 萊布尼茲公式：兩函數(shù)乘積的n階導(dǎo)，n一般取值很大，幾十或上百或者就是n
22. 泰勒：兩函數(shù)乘積有限次較小高階導(dǎo)
23. 反函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：
    ?

    01:12:04

    ?
24. 原函數(shù)的一階導(dǎo)不為0這個條件不能缺少。
25. 求高階導(dǎo)數(shù)的思想跟求反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)一樣
26. dx^2與d(x^2)的區(qū)別：
    ?

    01:22:00

    ?
27. dx^2是微分的冪，d(x^2)是對x^2求微分

圖1：

圖2：

圖3：

圖4：

二、證明

1. 證明“f(x)可導(dǎo)，f(x)奇函數(shù)=>f'(x)偶函數(shù)，且反之不成立”：
   ?

   18:60

   ?

三、計算

1. 考察二階導(dǎo)數(shù)的概念：
   ?

   10:02

   ?
2. 利用求導(dǎo)與奇偶性的變化做題：
   ?

   27:18

   ?
3. 一眼就能秒，第一次做真的求了三次導(dǎo)。
4. 歸納法+公式法求n階導(dǎo)：
   ?

   48:41

   ?
5. 待定系數(shù)拆：
   ?

   50:46

   ?
6. 用麥克勞林公式：
   ?

   01:07:49

   ?
   （好好體會一下怎么確定拆到哪一項）
7. 第一次看的時候沒有搞懂為什么要乘120=>我們求出y的5階導(dǎo)數(shù)系數(shù)是8/15，它是由y在0處的5階導(dǎo)除以5的階乘得來的。所以y在0處的5階導(dǎo)=(8/15)*(5!)