考研數(shù)學里面有一種常見題型，就是數(shù)列累加極限問題，實際上就是無限個無窮小相加的極限。這類問題我們一般有三種解法： 1、和式可以表達出來，之后就可以用海涅定理轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，比如能夠裂項相消的、等比數(shù)列之類的。但是這類題在考研里面幾乎不會出現(xiàn)，因為這偏向于高中數(shù)列的內(nèi)容。 2、放縮法。左右放縮之后利用夾逼準則，但是這類方法的缺點就是放縮的技巧性比較強，有時候不容易找到合適的放縮方式。 3、定積分法。傳統(tǒng)的定積分法是針對一類特殊的求和式才能使用：

也就是說這類求和式有兩個要求，第一，i的上下限必須是n和1；第二，累加項要能轉(zhuǎn)化為i/n的函數(shù)乘1/n的形式。因此，方法受到了很大的限制，應用范圍不廣，而當此方法失效的時候前兩個方法又不好用，所以我總結(jié)出了破除這兩個限制的方法，從而讓定積分法成為解決累加問題的通法。 先解決i的范圍問題。當i的范圍不是1到n的時候，我們依然將累加項化為f(i/n)1/n的形式，那么這個式子累加依然表示f(x)在某個區(qū)間上的積分，只不過不一定是0到1。我們依然把這個乘積當作小長方形的面積，底邊長為1/n，那么高就為f(i/n)，則i/n為小長方形底邊上某一點的橫坐標。而i取到下一項i+1的時候，(i+1)/n與i/n相比增加了1/n，也就是說正好代表下一個長方形底邊上相同位置的點的橫坐標。因此，把i從下限取到上限累加起來，就是所有小長方形的面積之和，也就是f(x)的定積分，而積分下限就是第一個長方形的取點橫坐標，也就是i的下限/n，積分上限就是最后一個長方形的取點橫坐標，也就是i的上限/n。 因此，我總結(jié)出了i在任意范圍的定積分轉(zhuǎn)化公式：

特殊情況就是i從1到n的時候，積分上下限就是0到1。 第二個問題，就是累加項不能轉(zhuǎn)化為i/n的函數(shù)的問題。這個時候，我們可以采取吸收原則，即無窮大相加減的時候，只保留高階無窮大，低階無窮大和常數(shù)可以消掉，實際上就是大家俗稱的抓大頭。其中，n和i視為一對同階無窮大。 是的，有人會有一個疑問了，就算是用吸收原則調(diào)整之后，還是有可能得不到n和i的齊次式，導致無法轉(zhuǎn)化。但是這種情況，答案是直接出來了的。因為用吸收原則調(diào)整之后，分子和分母分別都是齊次了，只是分子分母的次數(shù)不一定相同（注意是提出1/n后，也就是分子乘n后），這個時候，如果分母次數(shù)大，那么分母就是高階無窮大，比值就是0，也就是說被積函數(shù)為0，那么該累加數(shù)列的極限就是0，反之就是無窮大，發(fā)散。這樣一來，就解決了所有的情況。 那么，總結(jié)一下定積分法求累加數(shù)列極限問題的解題步驟： 1、找到i，i的上下限不限，但必須是公差為1的等差數(shù)列。這個一定可以找到的，因為累加式中的變量有規(guī)律，構(gòu)成數(shù)列，便有通項公式，通項中的項數(shù)就是i，公差為1。 2、利用吸收原則調(diào)整累加項之后轉(zhuǎn)化為i/n的函數(shù)乘1/n。如果調(diào)整之后依然無法轉(zhuǎn)化，那分母高階就是0，分子高階就是無窮大。 3、i/n變?yōu)閤，1/n為dx，i的上下限分別/n作為積分上下限（n→∞）。 我們利用這個方法還可以輕松解決2021考研數(shù)學二的選擇題第七題：

這題的參考答案解法是根據(jù)定積分的定義判斷選項中分割長方形的方式和橫坐標取點位置，屬于是直接用底層原理解題了，比較麻煩，而用總結(jié)出來的新方法可以迅速判斷出每個選項的累加式代表的積分。A項是1/2倍0到1上f(x)積分，B是答案，C是2倍，D是4倍，判斷方法就是-1可以抹掉，根據(jù)吸收原則。然后k/n是x，1/n是dx，k從1到n就是0到1積分，k從1到2n就是0到2積分。之后括號里面有x/2，積分限0到2，正好換元變成x，積分限也就變成0到1了。 希望這樣的定積分法能夠?qū)Υ蠹矣袔椭?