這篇小文章講一下概率中的幾個界，也就是幾個不等式。是為了給后面通信中的一些理論提供基礎，例如極化碼中極化特性的推導，需要用到 Chernoff-Hoeffding 不等式。

我們先講講這些界的出發(fā)點，即馬爾可夫不等式 (Markov Inequality).

X 是一個非負的隨機變量，均值是? , 那么 :

證明：

簡單整理后得到公式 (1).

如果再知道方差，那么我們可以得到更好的估計（Chebyshev 不等式)：

其中 ?是隨機變量 X 的方差。

證明：

構建一個新的隨機變量

則根據(jù)方差的定義

使用 Markov 不等式：

則：

注意：

? ? ? 在公式 (3) 中，不需要有 這個條件。