圓冪定理是平面幾何中十分常見的一個定理，中高考中也有許多可以應用它的題型，因此熱度一直較高

所謂圓冪，有如下定義

點P到圓O（半徑為R）的圓冪是指PO2-R2

而平面幾何中的圓冪定理實際也可以看成割線定理，切割線定理，相交弦定理的統(tǒng)稱

內容如下

網上資料大多以幾何法證明，具體過程如下

容易看出，三個定理中的不變量即為點到圓的圓冪，故定理得名圓冪定理

然而幾何法用相似證明，難免有些繁瑣，且還需要分情況討論

今天給大家介紹一種相對更簡單和一般的證明方法

首先要借助一種新的工具——點幾何

所謂點幾何，就是以點為研究對象，直接對點進行運算的一種幾何

如果無法接受點幾何的表達，你可以直接把它看成原點到它的向量（例如A直接看成向量OA）

我們采用的是恒等式證明法

簡單來說就是先得到代數恒等式S?+S?+S?+…S?=0，接著由題目條件得到S?=S?=S?…=S???=0最后得到S?（結論）等于0

先看一下割線定理，實際上存在如下恒等式

證明十分簡單，你只需要把所有括號打開即可

由圓的性質，顯然S?S?S?均為0，故S?為0，割線定理得證

而在恒等式中我們并沒有規(guī)定P的位置，故P在圓內仍然成立，相交弦定理得證

令C等于D，切割線定理得證

而這個恒等式是還可以拓展到三維情況，球冪定理得證，由這個恒等式我們還可以去知道。不管在幾維都應該存在類似的n維球冪定理

這就是點幾何所追求的一行證明了，一般恒等式中具有很強的一般性，所以我們往往可以做到一行等式同時證明多個命題，甚至有所拓展

如果感興趣的話，可以加入Q群與我們一起研究