起

????有一高度場z=H(x,y)：

????

現(xiàn)在對(duì)于空間中任意一點(diǎn)target，想要知道高度場中距離target最近的點(diǎn)的距離（不必完全精確）。

直接解析求解太麻煩（或者不可求），使用固定步長Trace又太慢，需要一個(gè)折中的辦法。使用梯度下降法：

承

????設(shè)高度場上一點(diǎn)pnt(x,y,H(x,y)), 而target(m,n,o)。要使兩者距離最小。即求目標(biāo)函數(shù)：

?

關(guān)于x,y的最小值，其梯度方向?yàn)?偏x,偏y)：

這樣，從target點(diǎn)開始，求得梯度后，往負(fù)梯度方向慢慢step，就能得到函數(shù)極小值（不保證全局最優(yōu)），也就是距離target最近的點(diǎn)。

轉(zhuǎn)

????我的高度場具體解析式是一個(gè)經(jīng)典的帶方向Cos函數(shù)組成的Octave Noise，或者稱為FBM。由于FBM的組成是累加的，所以對(duì)H(x,y)求值和求導(dǎo)都很方便，不再贅述。

合

????Unity里可以很快很方便地驗(yàn)證正確性。盡管脫離不了梯度下降（GD）的一貫缺點(diǎn)，不過大部分情況下可用。之后試一下GD得到的距離之后減去一個(gè)小值，用來SDFTrace它的可行性。

補(bǔ)圖：

（直接用高度場差進(jìn)行SDFTrace,對(duì)于過高，過復(fù)雜地形是不對(duì)，不可接受的）