即

對(duì)于任意橢圓

若

kAB+kCD=0

則

A、B、C、D四點(diǎn)共圓

之證明

如圖1.

直線A'B'與直線C'D'交于單位圓

直線E'F'與直線B'D'為水平直線

kA'B'+kC'D'=0

則

kA'C'+kB'D'=0

證明如下

據(jù)

kA'B'+kC'D'=0

有

∠1=∠2+∠3

且

E'F'‖B'D'

即

∠6=∠1

∠4=∠2

且

A'B'C'D'四點(diǎn)共圓

即

∠5=∠3

即

∠1=∠4+∠5

且

∠6=∠5+∠7

即

∠4=∠7

即

kA'C'+kB'D'=0

對(duì)

圖1.

進(jìn)行伸縮變換

得到

圖2.

設(shè)

橢圓方程為

x2/a2+y2/b2=1

有

kAB=b/a·kA'B'

kCD=b/a·kC'D'

kAC=b/a·kA'C'

kBD=b/a·kB'D'

設(shè)

kAB+kCD=b/a·(kA'B'+kC'D)=0

即

kAB=-kCD

有

kAC+kBD=b/a·(kA'C'+kB'D)=0

即

kAC=-kBD

即

(kAC-kAB）/(1+kAC·kAB)

=

-(kBD-kCD)/(1+kBD·kCD)

即

∠BAC與∠CDB互補(bǔ)

即

A、B、C、D四點(diǎn)共圓

得證

ps.

有關(guān)

這條

發(fā)視頻的

無恥行徑

詳見

CV7804148