置頂: 這不是一篇面向廣大群眾(特指初步接觸微積分的高中生)的科普文

Green函數是一個在數理方程中非常實wu用nao的工具, 對于給出條件的微分方程, 只需要求得一個特殊的基本解就可以求出任意解, 在計算機模擬和求解含時或不含時方程都有很大的作用

那么就來了解一下怎么使用這個工具吧

前提: 本篇討論的函數都是具有一階求導(或偏導)的連續(xù)函數,? ? 并且本篇不會過于詳細地討論適用范圍和細節(jié), 想要深入學習的可以去自行購買一本<<數理方程>>

對于一般的數理問題, 可以籠統(tǒng)地歸納為 "初值條件在系統(tǒng)和邊界條件下, 隨時間演化或求定解"

Green函數法成立的最基本的原理為:? 在系統(tǒng)和邊界條件下, 有不止一個的特殊解, 那么通常解則為特殊解的線性組合,? ?換句話說, 有許多方程{P0, P1, P2, ...}都符合系統(tǒng)條件, 那么P = a0P0+a1P1+a2P2+...也符合系統(tǒng)條件 (a0, a1, a2不于方程變量有關)

那么Green函數法的思路為: 已知在空間內存在系統(tǒng)條件, 在空間的邊界上存在邊界條件, 在空間和邊界上的每一點M, 求出當M這一點強度為1時的特解, 得到一簇與M有關的特解, 這簇特解在特定加權下相加與初值條件相同, 那么就求得了目標解, 而與M有關的特解就叫做基本解? (以上為不含數學符號的表達方法, 看不懂的可以直接去看示例)

那么Green函數法的思路為: 假設空間D和其邊界?D上存在條件, 對D+?D內任意一點M0求得基本解G(r;M0), 那么目標解可以使用基本解表達

示例: 無限弦振動??(推薦動動腦子, 拿出草稿紙, 不要看到公式就說看不懂)

一維無限弦振動可以表示為:? ?(x為弦的坐標, u為弦偏離平衡點的位移, t為時間)

上面一條式子是系統(tǒng)條件, 并且因為是無限弦, 所以沒有邊界條件;? 下面一條式子是初值條件,?

這些式子的物理意義為:? 弦上的一點會受到左右兩邊的拉扯, 并且受到是合力為左右兩邊的和

而下面的初值條件表示, 在t=0時, 弦的位置為f(x), 而這時的速度為g(x)

而上述問題可以拆分為兩個問題:?

這兩個可以分別求得基本解, 而求基本解即為求以下問題:

左邊的問題為:? 在高度為0的弦上, 只有M0這一點有高度為1的點,?且弦的初速度處處為0, 求這個弦的演化

而右邊的問題為:? 在高度處處為0的弦上, 初速度只有M0點為1, 其他地方為0, 求這個弦的演化

desmos的模擬:? ? ? ?desmos.com/calculator/8yi47dfizr? ? ?(網站)

于是求得兩個基本解:?

那么最開始問題的系統(tǒng)條件的通解可以表達為:?

而為了求得符合給定初值條件的解, 可以得到:

把u1和u2代入上式后, 并且利用:

求得的結果是與行波法求得的一樣的

對于高維的Green函數法, 還需要注意相應的Green公式, 并且有部分問題解不出基本解,?

總之Green函數是一個用途非常廣泛的工具, 并且很多需要注意的方面, 一篇專欄是肯定裝不下的

⑧說了, 去ff14摸魚了, 順便丟一個通用Green函數的公式