一、整體感受

這幾道題都有比較強(qiáng)的計(jì)算技巧及相關(guān)積分公式的記憶。但相對來說還是簡單的。

題1涉及到含e^x和sinx的重要積分結(jié)論。（復(fù)習(xí)day74小結(jié)論1）

題2涉及到求偏導(dǎo)，要看清楚是關(guān)于誰求的偏導(dǎo)。

題3要計(jì)算Jacobi行列式，注意不要漏掉。而且最后被積函數(shù)是一個一階導(dǎo)數(shù)，這個不要搞錯。

題4這道中科大的題目，算了很久Py和Qx，就是比較簡單的求偏導(dǎo)也出現(xiàn)計(jì)算速度上的差距，這說明之前對求偏導(dǎo)訓(xùn)練上的不足，后期要加強(qiáng)?。?span id="s0sssss00s" class="color-green-03 font-size-20">這里可以拆成幾項(xiàng)分別求偏導(dǎo)效果可能會好一些）

二、 本節(jié)需要掌握的相關(guān)定理及公式

1、對Green公式的理解以及計(jì)算公式的再熟悉

（要在封閉曲線上才能用Green公式）

2、曲線積分與路線的無關(guān)性定理及應(yīng)用

（1）曲線積分與路線的無關(guān)性的重要定理（4個等價條件）

（2）該定理在本節(jié)題目中應(yīng)用

題2：可應(yīng)用條件4（驗(yàn)證Qx=Py）

以及條件3(驗(yàn)證全微分du=uxdx+uydy=Pdx+Qdy)兩種方法；

題4：在計(jì)算一段封閉區(qū)間時使用，這一段積分由于滿足條件3的Qx=Py，所以可以推出條件1：這段積分值為0，用以簡化計(jì)算。

三、具體題目

1（東北師范，安徽大學(xué)）

做法：

①觀察被積函數(shù)，可能需要運(yùn)用Green公式；

②再畫圖，發(fā)現(xiàn)區(qū)域不封閉，補(bǔ)上一段（這一段恰好y=0，說明dy=0！這是一個重要化簡方式，之后常常用到）

③把積分和區(qū)域L1（補(bǔ)的直線段）記一下，寫出P、Q，算出Qx,Py。而且算出L1上積分為0

④化簡積分后，用Green公式轉(zhuǎn)化為D上的二重積分，最后就是算積分，注意要使用到一個含e^x和sinx的重要積分結(jié)論。

2（重慶大學(xué)）

法1：

第一問用曲線積分與路線的無關(guān)性的等價條件4（驗(yàn)證Qx=Py）；

第二問由于與路線無關(guān)，所以可以取一段水平、一段垂直，最簡單的來做，充分利用題干條件ab=cd即可。（做積分的時候會涉及整體換元，然后區(qū)間銜接的情況，要靈活處理）

法2：

第一問：用曲線積分與路線的無關(guān)性的等價條件3（驗(yàn)證du=Pdx+Qdy），

關(guān)鍵在如何設(shè)這個u(x,y)，是通過觀察被積函數(shù)有f(xy），所以u(x,y)中有個F（xy）來作為f(xy)的原函數(shù)；同時觀察到由于被積函數(shù)中有1/y,表示關(guān)于x求導(dǎo)后有這個，那么原函數(shù)應(yīng)該為x/y，所以取u(x,y)=x/y+F(xy)。

這個取u(x,y)需要很強(qiáng)的觀察能力，如果觀察不出，用等價條件3最方便。

但是如果用了全微分這個方法之后，第二問就比較簡單，直接代入起點(diǎn)和重點(diǎn)，再用一下ab=cd抵消一下，就出來最終結(jié)果了。

注意：這兩個等價條件（3和4）都可以好好學(xué)習(xí)一下，理解、體悟使得曲線積分與路線的無關(guān)性的條件。

3（武漢大學(xué)）

思路：關(guān)注到題干中有的兩兩對稱，所以想到用變量變換即可。

做法：

①觀察被積函數(shù)，由于要用Green公式，需要Qx和Py，由于這里P=0就不用管了，但是還得驗(yàn)證一下Qx是否關(guān)于x有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由于這里y>0，那么被積函數(shù)分母不為0，說明是關(guān)于x有連續(xù)偏導(dǎo)的。

（這一步容易理不清楚邏輯鏈，好好想想）

②最后做變量變換，記得求出Jacobi行列式，不要漏掉，最后這個積分的被積函數(shù)是一個一階導(dǎo)（導(dǎo)數(shù)的’不要寫著寫著就漏掉了，不然用不了題干條件了），仔細(xì)點(diǎn)算積分，不難。

4（中國科學(xué)院大學(xué)）

我覺得是比較考驗(yàn)理解能力的一道題，處理過程也比較有技巧性，很綜合。

法一：

①首先要畫圖，觀察到（1/2，0）可能是瑕點(diǎn)，需要去掉。

②寫出P,Q，驗(yàn)證Qx=Py(這一步需要好好算，好好鍛煉計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的能力）

③補(bǔ)全區(qū)域，記L1，算L1積分會利用到對稱區(qū)間的奇偶性；再取L2：以瑕點(diǎn)位圓心的一個圓，半徑為ε。

④計(jì)算I,I為（L1+L2）-L2-L1上的積分

這里L1+L2上是為了利用Green公式，把瑕點(diǎn)補(bǔ)充上可以利用曲線積分與路線的無關(guān)性的等價條件4：Qx=Py→等價條件1：這段光滑封閉曲線的積分值為0，化簡計(jì)算。

減去L2是因?yàn)檫@一段本來就是瑕點(diǎn)，應(yīng)該減去

減去L1是因?yàn)檫@一段是自己補(bǔ)上的直線段，應(yīng)該刪掉。

法二：前2步同法一，第三步就是取L'，寫出圓的參數(shù)方程來求，利用θ角的范圍在[arctan2-π，π-arctan2]，算一下積分即可。

說明：這里θ角是以(1/2,0)為圓心，半徑為√5/2的圓，算的(0,-1)處的角度和(0,1)處的角度。這樣取可以經(jīng)過（0，1）和（0，-1）點(diǎn)

注：要會設(shè)圓的參數(shù)方程

圓的方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;

則圓的參數(shù)方程為x=a+rcosθ；y=b+rsinθ.

本題a=1/2,b=0,r=√5/2