命題1.29：

如果兩條平行線被另一條直線所截，所形成的內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

已知：EF截于平行線AB，CD

求證：∠AGH=∠GHD，∠EGB=∠GHD，∠BGH+∠GHD=兩直角

解：

假如∠AGH≠∠GHD

設(shè)∠AGH＞∠GHD

∵∠AGH＞∠GHD

（已知）

∴∠AGH+∠BGH＞∠GHD+∠BGH

（隱藏公理）

∵∠AGH+∠BGH=兩直角

（命題1.13）

∴∠GHD+∠BGH＜兩直角

（公理1.1）

∴AB，CD在點B，D一側(cè)延長后會相交

（公設(shè)1.5）

∵AB∥CD

（已知）

∴這是不可能的

（定義1.23）

∴內(nèi)錯角∠AGH=∠GHD

∵∠AGH=∠EGB

（命題1.15）

∴同位角∠EGB=∠GHD

（公理1.1）

∴∠EGB+∠BGH=∠GHD+∠BGH

（公理1.2）

∵∠EGB+∠BGH=兩直角

（命題1.13）

∴同旁內(nèi)角∠GHD+∠BGH=兩直角

（公理1.1）

證畢

此命題將在本卷中被大量使用

PS：此命題在羅氏幾何中失效