#練習(xí)生打卡

1.繼續(xù)探索Abel第二定理。

①端點(diǎn)單側(cè)連續(xù)意味著端點(diǎn)極限可直接代入求，或者反過(guò)來(lái)，由極限值得知函數(shù)值。

②能夠證明Abel第二定理跟收斂半徑無(wú)關(guān)。

③結(jié)合①②得出，可以通過(guò)求lim(x→1-)∑anx?得到∑an。【重要前提：∑an收斂】。

由此說(shuō)明Abel第二定理的重要作用：求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂于何值。

④ ③等于說(shuō)，Abel第二定理可以被簡(jiǎn)化成：若∑an=A，則lim(x→1-)∑anx?=A

⑤但其逆命題不一定成立。即“若lim(x→1-)∑anx?=A，則∑an=A”不一定對(duì)。

問(wèn)：何時(shí)逆命題成立？從而引出：

2.Tauber定理。

①來(lái)源：猜測(cè)an=o(1/n)時(shí)Abel第二定理逆命題成立。

②證明要點(diǎn)：

（?。┏Ｓ锰茁?：要證明an→a，總是轉(zhuǎn)為證明an-a→0，證明無(wú)窮小通常方式是裂項(xiàng)、讓每一項(xiàng)都→0。

（ⅱ）常用套路2：把級(jí)數(shù)拆成前N項(xiàng)和跟后面項(xiàng)的和，前N項(xiàng)和可以跟其他級(jí)數(shù)前N項(xiàng)和合并。

（ⅲ）an=o(1/n)：nan→0

（ⅳ）利用x＜1放縮

（ⅴ）借用上極限第三定義套路，構(gòu)造遞減數(shù)列｛δn｝

（ⅵ）讓x跟N相關(guān)聯(lián)，使得N→∞時(shí)，x→1-，且都同一到δN上（能做到恰好符合）

③條件可進(jìn)一步減弱為an=O(1/n)

④進(jìn)一步探索見(jiàn)下節(jié)課

3.｛an｝非負(fù)，則Abel第二定理逆定理也成立。