前言：

你是不是也常常記不住冪級(jí)數(shù)展開式？我也是。所以這幾天在學(xué)習(xí)過程中不斷體悟，通過觀察逐漸發(fā)現(xiàn)這些常見的不同冪級(jí)數(shù)的展開式之間也是有一些聯(lián)系的。也是這期專欄誕生的原因之一。

下述內(nèi)容完全原創(chuàng)，是Up本人學(xué)習(xí)過程中自己總結(jié)的記憶方法，如果喜歡的話，大家可以點(diǎn)贊、投幣、關(guān)注Up本人。大家的鼓勵(lì)也是Up的創(chuàng)作動(dòng)力。

一、思索出的記憶方法緣由和契機(jī)：

緣由：在day54和day55的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，愈加發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)冪級(jí)數(shù)展開式的重要之處，特此想些好記的辦法。

契機(jī)：

1、觀察式子，發(fā)現(xiàn)artanx和sinx的冪級(jí)數(shù)展開似乎差不多

2、正因?yàn)?strong>day54和day55的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，對(duì)于sinx的冪級(jí)數(shù)展開記憶深刻，所以借此好好分析各冪級(jí)數(shù)展開間的聯(lián)系，從此使得記憶更加牢固。

二、展示常見冪級(jí)數(shù)展開式

三、常見冪級(jí)數(shù)展開式的記憶思路：（分為3組記憶）

第1組：以sinx為主線，牢記sinx冪級(jí)數(shù)展開，從而記住sinx,cosx和arctanx。(注意：n是從0開始的）

1.1

首先記牢sinx冪級(jí)數(shù)展開式

1.2

arctanx相比sinx而言，只不過在分母上從(2n+1)!變?yōu)?2n+1），其余不變

1.3

cosx相比sinx而言，就是在sinx的冪級(jí)數(shù)展開式兩邊求個(gè)導(dǎo)便得到了，記清楚sinx，cosx就是在其基礎(chǔ)上求個(gè)導(dǎo)的事！

第2組：

以ln(1+x)為主線，牢記ln(1+x)冪級(jí)數(shù)展開，從而記住ln(1+x),ln(1-x),1/(1-x)^2,1/(1+x)^2。(注意：n是從1開始的）

Remark：從這里就可以思考課本中為什么是ln(1+x),ln(1-x)，而沒有見過lnx在x0=0處展開。

2.1

首先記牢ln(1+x)冪級(jí)數(shù)展開式

2.2? ??

ln(1-x),在ln(1+x)冪級(jí)數(shù)展開式基礎(chǔ)上就把-x代入x即可

2.3

1/(1-x)^2的冪級(jí)數(shù)展開式,就是把ln(1-x)求導(dǎo)兩次,最后再加一個(gè)負(fù)號(hào)即可。

2.4

1/(1+x)^2的冪級(jí)數(shù)展開式，可以直接將1/(1-x)^2的冪級(jí)數(shù)展開式中的-x去代x,即可得到.與1/(1-x)^2的冪級(jí)數(shù)展開式相比，就多了一個(gè)(-1)^(n-1)罷了.

Remark:對(duì)于1/(1-x)^2的冪級(jí)數(shù)展開式，如果你求了兩次導(dǎo)之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)你得到的式子為Σ(n-1)x^(n-2)(n從1開始)，此時(shí)再用n+1去代n,即n從0開始算，得到Σnx^(n-1)(n從0開始),不過這里n=0時(shí)的值為0,所以n就從1開始算起來。與這一組記憶的公式統(tǒng)一,n都是從1開始的。

第3組：可以有兩種記憶方法(注意：n是從0開始的）

第3組記憶方法一：以e^x為主線，牢記e^x冪級(jí)數(shù)展開，從而記住e^x,[e^x+e^(-x)]/2,[e^x-e^(-x)]/2。

3.1.1

首先記牢e^x冪級(jí)數(shù)展開式

3.1.2

[e^x+e^(-x)]/2的冪級(jí)數(shù)展開式只不過是將e^x冪級(jí)數(shù)展開式中的n換成2n,其余不變。

3.1.3

[e^x-e^(-x)]/2的冪級(jí)數(shù)展開式只不過是將e^x冪級(jí)數(shù)展開式中的n換成2n+1,其余不變。

第3組記憶方法二：以sinx,cosx為主線，牢記sinx,cosx冪級(jí)數(shù)展開，從而記住[e^x+e^(-x)]/2,[e^x-e^(-x)]/2。

3.2.1

首先記牢sinx,cosx冪級(jí)數(shù)展開式

3.2.2

[e^x+e^(-x)]/2的冪級(jí)數(shù)展開式只不過是在cosx的冪級(jí)數(shù)展開式基礎(chǔ)上少了一個(gè)(-1)^n

3.2.3

[e^x-e^(-x)]/2的冪級(jí)數(shù)展開式只不過是在sinx的冪級(jí)數(shù)展開式基礎(chǔ)上少了一個(gè)(-1)^n

最后，還有一個(gè)最特殊的等比級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開，

只要注意n從0開始與從1開始不一樣即可?。?！