鄭濤（Tao Steven Zheng）著

【問題】

證實正態(tài)分布（normal distribution）

滿足熱傳導方程（heat equation）[1] （ 是常數(shù)， ）， 以初始條件為 ，其中 是 狄拉克δ函數(shù)（Dirac delta function）[2]。

[1] 熱傳導方程（heat equation） 相等于 。

[2] 狄拉克δ函數(shù)（Dirac delta function）定義為 。

【題解】

求 對于 的一階偏導數(shù) （first partial derivative）：

求 對于 的一階偏導數(shù) （first partial derivative）:

求 對于 的二階偏導數(shù) （second partial derivative）：

因此，

熱傳導方程 兩側是相等的！

狄拉克δ函數(shù)實際上是一個分布（distribution），而不是一個函數(shù)（分布可以說是比較廣義的函數(shù)）。事實上，該分布可以用極限來定義

?

所以，狄拉克δ函數(shù)（Dirac delta function）自動滿足初始條件 。