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條件技巧

2019-10-04 19:26 作者:露保協(xié)  | 我要投稿

動機(jī):我們想計(jì)算某個隨機(jī)變量X的各階矩,比如EX,varX。但是X本身很復(fù)雜。一種簡化的思想是:把X條件在某個東西上。比如說,X是某個受Y控制的隨機(jī)過程,條件于某一條Y軌道,X就清楚了。問題來了:如果我們知道X|Y,如何求X的各階矩?

對于期望EX,我們有l(wèi)aw of total expectation:EX=E(E[X|Y])。

對于方差varX,我們期望varX與var[X|Y]之間的聯(lián)系,但這并不是簡單的varX=Evar[X|Y],而是要多出一項(xiàng)E與var的交換項(xiàng)。具體來說有l(wèi)aw of total variance:varX=Evar[X|Y]+varE[X|Y]。可以這樣理解:X條件上Y之后,信息增多,方差var[X|Y]比varX小。(注意varE[X|Y]是一個隨機(jī)變量的方差,是非負(fù)的)

注意,條件方差本身是完全按照條件期望定義的,即把方差定義中的全部期望換成條件期望:var[X|Y]=E[(X-E[X|Y])^2|Y]。

對于協(xié)方差,我們有l(wèi)aw of total covariance,類似地是E與cov的交換:cov(X,Y)=Ecov[X,Y|Z]+cov(E[X|Z],E[Y|Z])。

對于更高階的定理,首先我們定義累積量。累積量是另一種形式的矩,按照對數(shù)生成函數(shù)定義:

把這個定義式展開可以得到用中心矩表示的累積量:

注意前三階統(tǒng)計(jì)量和中心矩是一樣的

累積量的好處(相比于其他類型的矩)在于,它是一個可加量。

有一個把原點(diǎn)矩用累積量表示出來的圖形方法(摘自kardar的統(tǒng)計(jì)力學(xué)):

這就很舒服了,不用計(jì)算,畫畫圖就能得到系數(shù)。

為了推廣協(xié)方差,我們需要定義聯(lián)合累積量。

這樣我們就有最一般的law of total cumulance:

具體算起來跟前面的圖示是類似的方法:

這東西想想也知道基本是用不到的...不過它提供了前面幾個公式的不同理解:并不是“交換”,而是“partition”。

題圖pid35831277.

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