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最近我們被客戶要求撰寫關于極值理論的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

本文用 R 編程語言極值理論 (EVT) 以確定 10 只股票指數的風險價值（和條件 VaR）

使用 Anderson-Darling 檢驗對 10 只股票的組合數據進行正態(tài)性檢驗，并使用 Block Maxima 和 Peak-Over-Threshold 的 EVT 方法估計 VaR/CvaR。最后，使用條件異向性 (GARCH) 處理的廣義自回歸來預測未來 20 天后指數的未來值。本文將確定計算風險因素的不同方法對模型結果的影響。

極值理論（最初由Fisher、Tippett和Gnedenko提出）表明，獨立同分布（iid）變量樣本的分塊最大值的分布會收斂到三個極值分布之一。

最近，統(tǒng)計學家對極端值建模的興趣又有了新的變化。極限值分析已被證明在各種風險因素的案例中很有用。在1999年至2008年的金融市場動蕩之后，極值分析獲得了有效性，與之前的風險價值分析不同。極限值代表一個系統(tǒng)的極端波動。極限值分析提供了對極端事件的概率、規(guī)模和保護成本的關系進行建模的能力。

參考

https://arxiv.org/pdf/1310.3222.pdf
https://www.ma.utexas.edu/mp_arc/c/11/11-33.pdf
http://evt2013.weebly.com/uploads/1/2/6/9/12699923/penalva.pdf
Risk Measurement in Commodities Markets Using Conditional Extreme Value Theory

第 1a 節(jié) - 工作目錄、所需的包和會話信息

為了開始分析，工作目錄被設置為包含股票行情的文件夾。然后，安裝所需的 R 編程語言包并包含在包庫中。R 包包括極值理論函數、VaR 函數、時間序列分析、定量交易分析、回歸分析、繪圖和 html 格式的包。

library(ggplot2)library(tseries)library(vars)library(evd)library(POT)library(rugarch)

第 1b 節(jié) - 格式化專有數據

用于此分析的第一個文件是“Data_CSV.csv”。該文件包含在 DAX 證券交易所上市的 15 家公司的股票代碼數據，以及 DAX 交易所的市場投資組合數據。從這個數據文件中選出了 10 家公司，這些公司最近十年的股價信息是從谷歌財經下載的。

第 1c 節(jié) - 下載股票代碼數據

股票價格數據下載并讀入 R 編程環(huán)境。收益率是用“開盤價/收盤價 ”計算的，十家公司的數據合并在一個數據框中，（每家公司一列）。

結果數據幀的每一行代表記錄股價的 10 年中的一個工作日。然后計算數據幀中每一行的均值。一列 10 年的日期被附加到數據框。還創(chuàng)建了僅包含行均值和日期信息的第二個數據框。

alDat?<-?cbind(retursDaa,?returnDta_A, ?????????????????retrnsata_Ss,?reunsataDB, ?????????????????retunsDta_H,?reurnsDta_S,?rtunsDaaA, ?????????????????retrnsaa_senus,reursDtaAlnz, ?????????????????reurnsData_ailer)

第 2a 節(jié) - 探索性數據分析

創(chuàng)建一個數據框統(tǒng)計表，其中包含每列（或公司）的最小值、中值、平均值、最大值、標準偏差、1% 分位數、5% 分位數、95% 分位數、99% 分位數。分位數百分比適用于極值。還創(chuàng)建了所有收益率均值的時間序列圖表。

??taeSs<-?c(min(x),?medan(x),?man(x), ????????????????????max(x),?sd(x),?quntile(x,?.01), ????????????????????quanile(x,?.05),?qunile(x,?.95), ????????????????????quatile(x,?.99),?lngth(x))

第 2b 節(jié) - 10 只股票指數的 VaR 估計

all_va.2?<-?VAR(lDvarts,?p?=?2,?tpe=?"cnst")#?預測未來125天、250天和500天aDFva100?<-?pdc(alDva.c,?n.aea?=?100,?ci?=?0.9)

為了開始估算數據所隱含的未來事件，我們進行了初步的風險值估算。首先，所有行的平均值和日期信息的數據框架被轉換為時間序列格式，然后從這個時間序列中計算出風險值。根據VaR計算對未來100天和500天的價值進行預測。在隨后的預測圖中，藍色圓圈代表未來100天的數值，紅色圓圈代表500天的回報值。

plot（ap0$t$Tme[1:1200], ?????alF_ar.d.$fst[1:1200]）

第 2c 節(jié) - 估計期望_shortfall_(ES),條件VAR_(CvaR)_?10 股票指數

為便于比較，計算了10只股票指數數據的條件風險值（CvaR或估計虧損）。首先，利用數據的時間序列，找到最差的0.95%的跌幅的最大值。然后，通過 "高斯 "方法計算出估計虧損，這兩種計算的結果都以表格形式呈現。

ES(s(lD1:2528,?2,?rp=FAE]),p=0.95,?mho="gausn")

第 2d 節(jié) - 10 只股票指數的希爾Hill估計

由于假設10股指數數據為重尾分布，數據極少變化，所以采用Hill Estimation對尾指數進行參數估計。目的是驗證 10 只股票數據是否為極值分布。Hill Estimation 生成的圖證實了。

hil(orvtis,?otio="x",?trt=15,?nd=45)

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R語言POT超閾值模型和極值理論EVT分析

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第 2e 節(jié) - 正態(tài)分布的 Anderson-Darling 檢驗

Anderson-Darling 檢驗主要用于分布族，是分布非正態(tài)性的決定因素。在樣本量較大的情況下（如在 10 股指數中），小于 0.05 的 P 值表明分布與正態(tài)性不同。這是極值分布的預期。使用 Anderson-Darling 檢驗發(fā)現的概率值為 3.7^-24，因此證實了非正態(tài)性。

第 2f 節(jié) - 結果表

最后，給出了10個股票指數未來價值的估計結果表。3 個 VaR 估計值（和估計差額）的點估計值和范圍被制成表格以比較。

VaRES[3,]?<-?c("ES",?etFbl[1],?4) ????????????????????????eSFbe[2],?estFtbl[3], ????????????????????????rond(eSab[4],?4))

第 3a 節(jié) - 10 個股票指數的 EVT 分塊最大值估計

極值理論中的 Block Maxima 方法是 EVT 分析的最基本方法。Block Maxima 包括將觀察期劃分為相同大小的不重疊的時期，并將注意力限制在每個時期的最大觀察值上。創(chuàng)建的觀察遵循吸引條件的域，近似于極值分布。然后將極值分布的參數統(tǒng)計方法應用于這些觀察。

極值理論家開發(fā)了廣義極值分布。GEV 包含一系列連續(xù)概率分布，即 Gumbel、Frechet 和 Weibull 分布（也稱為 I、II 和 III 型極值分布）。

在以下 EVT Block Maxima 分析中，10 股指數數據擬合 GEV。繪制得到的分布。創(chuàng)建時間序列圖以定位時間軸上的極端事件，從 2006 年到 2016 年。然后創(chuàng)建四個按 Block Maxima 數據順序排列的圖。最后，根據 gev() 函數創(chuàng)建 Block Maxima 分析參數表。

gev(ltMeans,?x=0.8,?m=0)plt(alVF)

第 3b 節(jié) - 分塊最大值的 VaR 預測

為了從 Block Maxima 數據中創(chuàng)建風險價值 (VaR) 估計，將 10 股指數 GEV 數據轉換為時間序列。VaR 估計是根據 GEV 時間序列數據進行的。未來值的預測（未來 100 天和 500 天）是從 VaR 數據推斷出來的。在結果圖中，藍色圓圈表示未來 100 天的值，紅色圓圈表示 500 天的收益率值。

#?預測未來500天 aGE500<-?preit(aG_va.c,?n.ad?=?500,?ci?=?0.9)plot(aGE500pd.500)

第 3c 節(jié)?- 分塊最大值的期望損失ES (CvaR)

10只股票指數GEV數據的條件風險值（"CvaR "或 "期望損失"）被計算。首先，利用數據的時間序列，找到最差的0.95%的縮水的最大值。然后，通過極端分布的 "修正 "方法來計算 "估計虧損"，這兩種計算的結果都以表格形式呈現。

#?條件縮減是最差的0.95%縮減的平均值ddGV?<-?xdrow(aEVts[,2])#?CvaR（預期虧損）估計值CvaR(ts(alE),?p=0.95,?meho="miie")

第 3d 節(jié) - 分塊極大值的 Hill 估計

希爾估計（用于尾部指數的參數估計）驗證 10 只股票的 GEV 數據是極值分布。

第 3e 節(jié) - 正態(tài)分布的 Anderson-Darling 檢驗

Anderson-Darling 檢驗是確定大樣本數量分布的非正態(tài)性的有力決定因素。如果 P 值小于 0.05，則分布與正態(tài)性不同。通過該測試發(fā)現了一個微小的概率值 3.7^-24。

第 3f 節(jié) - 結果表

最后，給出了對 10 股指數 GEV 未來價值的估計結果表。3 個 GEV VaR 估計值（和 GEV 期望損失）的點估計值和范圍制成表格比較。

G_t[3,]?<-?c("GEV?ES",sFale[1], ?????????????????????sStble[2],?SEble[3], ?????????????????????"NA") GRst

第 3g 節(jié) - 分塊極大值的 100 天 GARCH 預測

通過將 Block Maxima GEV 分布（10 只股票的指數）擬合到 GARCH(1,1)（廣義自回歸條件異型）模型，對 Block Maxima EVT 數據進行預測。顯示預測公式參數表。創(chuàng)建一個“自相關函數”(ACF) 圖，顯示隨時間變化的重要事件。然后，顯示擬合模型結果的一組圖。創(chuàng)建對未來 20 天（股票指數表現）的預測。最后，20 天的預測顯示在 2 個圖中。

spec(aanc.ol?=?list(mel?=?'eGARCH', ????????????????????????????????????????garer=?c(1,?1)), ??????????????????dirion?=?'sd')#?用廣義自回歸條件異質性擬合模型alimol?=?ugct(pec,allV,?sovr?=?'ybi') cofale?<-?dtafe(cof(litol)) oeBal plt(l.itodl)

第 4a 節(jié) - 峰值超過閾值估計 - 10 個股票指數

在 EVT 中的峰值超過閾值方法中，選擇超過某個高閾值的初始觀測值。這些選定觀測值的概率分布近似為廣義帕累托分布。通過擬合廣義帕累托分布來創(chuàng)建最大似然估計 (mle)。MLE 統(tǒng)計數據以表格形式呈現。然后通過 MLE 繪圖以圖形方式診斷所得估計值。

plot(Dseans,?u.rg=c(0.3,?0.35))

第 4b 節(jié) - POT 的 VaR 預測

POT 數據的風險價值 (VaR) 估計是通過將 10 個股票指數 MLE 數據轉換為時間序列來創(chuàng)建的。VaR 估計是根據 MLE 時間序列數據進行的。未來值的預測（未來 100 天和 500 天）是從 MLE VaR 數據推斷出來的。在結果圖中，藍色圓圈表示未來 100 天的值，紅色圓圈表示 500 天的收益值。

VAR(merts,?p?=?2,?tp?=?"cost")#?預測未來125天、250天和500天mle_r.pd?<-?prect(e.ar,?n.ahad?=?100,?ci?=?0.9) plot(mea.prd)

第 4c 節(jié)?- POT 的期望損失ES (CvaR) 預測

然后計算10只股票指數MLE數據的條件風險值（"CvaR "或 "期望損失ES"）。數據的時間序列被用來尋找最差的0.95%的跌幅的最大值。通過極端分布的 "修正 "方法，計算出 "期望損失ES"，兩種計算的結果都以表格形式呈現。

#?最差的0.95%最大回撤的平均值mdM?<-?maxdadw(mlvs[,2]) CvaR(ldaa),?p=0.95,?meto="mdii", ???????????????pimeod?=?"comnen",?weghts)

第 4d 節(jié) - 峰值超過閾值的 Hill 估計

Hill 估計（用于尾部指數的參數估計）驗證 10 只股票的 MLE 數據是一個極值分布。

第 4e 節(jié) - 正態(tài)分布的 Anderson-Darling 檢驗

Anderson-Darling 檢驗是確定大樣本數量分布的非正態(tài)性的有力決定因素。如果 P 值小于 0.05，則分布與正態(tài)性不同。此測試的結果 P 值為 3.7^-24。

第 4f 節(jié) - 結果表

最后，給出了 10 個股票指數 MLE 未來價值的估計結果表。3 個 MLE VaR 估計值（和 MLE 期望損失ES）的點估計值和范圍被制成表格來比較。

第 4g 節(jié) - 峰值超過閾值的100天 GARCH 預測

通過將 MLE（10 只股票指數的最大似然估計）擬合到 GARCH(1,1)（廣義自回歸條件異型性）模型，對峰值超過閾值 EVT 數據進行預測。顯示預測公式參數表。創(chuàng)建了一個“自相關函數”（ACF）圖，顯示了隨時間變化的重要事件。然后，顯示擬合模型結果的一組圖。然后創(chuàng)建對接下來 20 天（股票指數表現）的預測。最后，20 天的預測（來自峰值超過閾值 EVT extimation）顯示在 2 個圖中。

fit(ec,ta,?slvr?=?'hybrid')plot(pot.fite.ol)

第 5a 節(jié) - 估計方法影響表

下表匯總了檢驗 極值分布的 10 個股票的四種方法的結果。第一列包含四種估計方法的名稱。提供了 VaR、ES、mu統(tǒng)計量和 Anderson-Darling P 值的統(tǒng)計量。

c("VaR", ?????????????????????round(mean(cofets),4), ?????????????????????"NA",?"NA",?p.vau) c("Block?Maxm",?round(mean(coffies),4), ?????????????????????MES,?pr.ss[3],.vle) c("POT",? ?????????????????????round(mean(cofies),?4), ?????????????????????MES,?fitdaes,?p.ale)

第 5b 節(jié) - 結論

在對10家公司（在證券交易所上市）10年的股票收益率進行檢查后，證實了將收益率變化定性為極值分布的有效性。對四種分析方法的擬合值進行的所有安德森-達林測試顯示，分布具有正態(tài)性或所有非極值的概率不大。這些方法在收益數據的風險值方面是一致的。分塊最大值方法產生了一個風險值估計的偏差。傳統(tǒng)的VaR估計和POT估計產生相同的風險值。相對于傳統(tǒng)的股票收益率數據的CvaR估計，兩種EVT方法預測的期望損失較低。標準Q-Q圖表明，在10只股票的指數中，Peaks-Over-Threshold是最可靠的估計方法。

本文摘選?《?R語言極值理論 EVT、POT超閾值、GARCH 模型分析股票指數VaR、條件CVaR：多元化投資組合預測風險測度分析?》?，點擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

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