當(dāng)遇到有趣的定積分，你會(huì)按捺不住算出來(lái)嗎？大部分人可能對(duì)于微積分計(jì)算敬而遠(yuǎn)之，但是，你不想知道什么是“有趣的”定積分嗎？

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撰文?|?姬揚(yáng)

最近我發(fā)現(xiàn)一位高產(chǎn)的科普作家，讀了幾本以后，覺(jué)得他寫得非常好，值得讓更多的人知道。
納欣（Paul J. Nahin, 1940-）是美國(guó)新罕布什爾大學(xué)的電氣工程榮休教授，今年已經(jīng)八十多歲了。你可能覺(jué)得他是個(gè)工程師，也許他確實(shí)是個(gè)工程師，但是他寫了很多數(shù)學(xué)和物理方面的科普書，還得過(guò)一次數(shù)學(xué)科普寫作的優(yōu)秀獎(jiǎng)（2017 Chandler Davis prize for Excellence in Expository Writing in Mathematics）。
十一的時(shí)候，我在知乎瞎逛，看到有人推薦Springer的一本書——Inside Interesting Integral，說(shuō)是講有趣的積分和實(shí)用的積分方法的。這種書能有什么意思呢？不過(guò)我正好閑著沒(méi)事情，中科院的網(wǎng)站又可以接觸這本書，所以我就找來(lái)看看。這一看不要緊，完全停不下來(lái)了。這確實(shí)是一本數(shù)學(xué)書，里面充滿了積分符號(hào)，但是怎么說(shuō)呢，我從來(lái)沒(méi)有這么快、這么認(rèn)真地看過(guò)一本洋文的數(shù)學(xué)書，居然還有自己上去試一試的沖動(dòng)（差不多每章后面都有習(xí)題的，有些還挺有挑戰(zhàn)性）——要知道，阿sir，我不做數(shù)學(xué)題很久了。

這是一本英文的數(shù)學(xué)書，專門講定積分的計(jì)算。數(shù)學(xué)水平大致是大學(xué)二年級(jí)的樣子，只要學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)，應(yīng)該不會(huì)有太大障礙（第8章圍道積分稍微有點(diǎn)難，但是其他部分都是黎曼積分）；英語(yǔ)水平嘛，我覺(jué)得大學(xué)生二年級(jí)肯定也是可以的，甚至很多高中生應(yīng)該也可以讀，但是可能有許多數(shù)學(xué)名詞需要查字典；閱讀的還要求一點(diǎn)計(jì)算機(jī)的知識(shí)，因?yàn)樗粌H向你展示如何用各種數(shù)學(xué)技巧來(lái)計(jì)算定積分，還用Matlab程序（很多時(shí)候就是一兩行命令而已）來(lái)數(shù)值計(jì)算相應(yīng)的定積分，用實(shí)驗(yàn)結(jié)果告訴你，他剛才的精確計(jì)算是正確的。
讀者并不一定需要同時(shí)掌握上述技能。比如說(shuō)，你只懂英語(yǔ)，可以讀他的兩個(gè)序言（因?yàn)槲易x的是第二版了）和后記；正文也可以翻一翻，只要跳過(guò)所有的數(shù)學(xué)就好了，因?yàn)槔锩胬镉泻芏喾浅Ｓ腥さ男」适?。?dāng)然這樣你會(huì)錯(cuò)過(guò)這本書最精彩的部分，用各種神奇但頗有普適性的技巧來(lái)求解定積分——正如作者所說(shuō)，求解定積分也是一種游戲，但是這種游戲比數(shù)獨(dú)可有趣多了。這是我讀過(guò)的最有趣的洋文數(shù)學(xué)書了——這個(gè)我可以保證。
讀了這本書（都不用讀完），你就知道，納欣教授肯定是費(fèi)曼和哈代的“迷弟”，他們倆的名字隨時(shí)都會(huì)出現(xiàn)。費(fèi)曼（R. P. Feynman, ?1918-1988）是著名的物理學(xué)家，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的獲得者，但是他的數(shù)學(xué)能力也很強(qiáng)；哈代（G. H. Hardy, ?1877-1947）是著名的數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)方面有很多貢獻(xiàn)（這個(gè)我們大家應(yīng)該都不太懂，所以不用管它），他最著名的書可能是《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自白》（A Mathematician's Apology），而他認(rèn)為自己最大的發(fā)現(xiàn)是拉馬努金（S. R. Ramanujan, ?1887-1920），偉大的印度數(shù)學(xué)天才。納欣教授不僅在前言和后記中多次提到費(fèi)曼和哈代（當(dāng)然還有拉馬努金），在正文中也是如此：第3章的題目就是《費(fèi)曼最喜歡的技巧》，而全書最長(zhǎng)、可能也是最難最精彩的一節(jié)（第6.3節(jié)）是哈代的杰作，

這個(gè)積分是幾何學(xué)家考克斯特（H. S. M. Coxeter, 1907–2003，當(dāng)時(shí)他還是個(gè)學(xué)生，只有19歲）猜出來(lái)的結(jié)果，但是他不知道怎么才能得到這個(gè)結(jié)果。他在一份數(shù)學(xué)雜志上征求幫助，竟然得到了哈代的解答，隨信還附了一張紙條說(shuō)：“我很努力地不在你的積分上花時(shí)間，但是對(duì)我來(lái)說(shuō)，定積分的挑戰(zhàn)是不可抗拒的?！?br>上面這個(gè)故事可以解釋這本書的名字Inside Interesting Integral（《趣味橫生的定積分揭秘》）為什么有3個(gè)I：Integral是積分，Inside是揭秘，但是最重要的選擇標(biāo)準(zhǔn)是Interesting，有趣，有趣得讓人無(wú)法抗拒！納欣教授還用了一個(gè)類比來(lái)說(shuō)明什么是有趣（參見(jiàn)美國(guó)高院大法官關(guān)于什么算是“淫穢”的著名評(píng)論）：不要問(wèn)我什么是有趣的定積分，我不知道怎么定義有趣，但是只要我碰到有趣的定積分，我就知道它有趣！
這本書還提到了很多有趣的書和有趣的人，主要是數(shù)學(xué)書和數(shù)學(xué)家。當(dāng)然，這本書的主角應(yīng)該說(shuō)是偉大的數(shù)學(xué)家黎曼（G. F. B. Riemann, 1826-1866），盡管在第1章提到了勒貝格積分，在后記里也講了黎曼猜想，但是這本書的總體內(nèi)容是黎曼積分！納欣教授的求解過(guò)程很詳細(xì)，語(yǔ)言很風(fēng)趣，你讀起來(lái)并不會(huì)覺(jué)得他是在花式炫技，而是很多時(shí)候都會(huì)覺(jué)得這是自然而然的呀。
不管你是喜歡英語(yǔ)還是數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)的實(shí)用技巧還是數(shù)學(xué)家的名人軼事，我都建議你嘗試讀一讀這本書。不要因?yàn)樗且槐狙笪牡臄?shù)學(xué)書，就自動(dòng)放棄了，打開(kāi)試一試，也許他就是你的菜呢。

后記：

讀完這本書以后，我才注意到，其實(shí)我以前見(jiàn)過(guò)幾本納欣教授的書，已經(jīng)翻譯成中文的《虛數(shù)的故事》和《物理就是這么酷》。后者我還讀過(guò)，差點(diǎn)就要寫個(gè)書評(píng)，只是因?yàn)椴幌脒`背自己設(shè)定的原則才作罷——對(duì)于任何沒(méi)有“譯者的話”的中譯本，我都不愿意寫書評(píng)。（編者注：參見(jiàn)《如何挑選譯著？先看看有沒(méi)有“譯者的話”｜讀書人語(yǔ)》）
幸好，Inside Interesting Integral這本書不需要譯者的話。
納欣教授還有很多其他的科普著作，從網(wǎng)上的簡(jiǎn)介來(lái)看，大都似乎也都挺有趣。列個(gè)書單在這里吧，也許以后有機(jī)會(huì)讀呢。

? Oliver Heaviside (1988, 2002)

? Time Machines (1993, 1999)

? The Science of Radio (1996, 2001)

? An Imaginary Tale (1998, 2007, 2010)

? Duelling Idiots (2000, 2002)

? When Least Is Best (2004, 2007)

? Dr. Euler’s Fabulous Formula (2006, 2011)

? Chases and Escapes (2007, 2012)

? Digital Dice (2008, 2013)

? Mrs. Perkins’s Electric Quilt (2009)

? Time Travel (1997, 2011)

? Number-Crunching (2011)

? The Logician and the Engineer (2012, 2017)

? Will You Be Alive Ten Years From Now? (2013)

? Holy Sci-Fi! (2014)

? Inside Interesting Integrals (2015, 2020)

? In Praise of Simple Physics (2016, 2017)

? Time Machine Tales (2017)

? How to Fall Slower Than Gravity (2018)

? Transients for Electrical Engineers (2019)

? Hot Molecules, Cold Electrons (2020)